Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin^{2} (x) - \cos (x)$ , and $0 \leq x \leq π$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin^{2} (x) - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - - \sin (x)$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x)$

Etapa 1.1.1.3.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Reordene os termos.

$2 \cos (x) \sin (x) + \sin (x)$

Etapa 1.1.1.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x)$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$

Etapa 1.1.1.4.2.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$f' (x) = \sin (2 x) + \sin (x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\sin (2 x) + \sin (x)$ .

$\sin (2 x) + \sin (x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\sin (2 x) + \sin (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\sin (2 x) + \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$ .

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Etapa 1.2.3.1

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.3.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Etapa 1.2.3.4

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 1.2.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 1.2.5.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 1.2.5.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.2.5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.5.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.6

Defina $2 \cos (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $2 \cos (x) + 1$ como igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Resolva $2 \cos (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \cos (x) = - 1$

Etapa 1.2.6.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.6.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.6.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 1.2.6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.6.2.4.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 1.2.6.2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 1.2.6.2.6

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 1.2.6.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 1.2.6.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 1.2.6.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 1.2.6.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 1.2.6.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.2.6.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 1.2.6.2.6.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 1.2.6.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.6.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.6.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.6.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (x) (2 \cos (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.8

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\sin^{2} (x) - \cos (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\sin^{2} (0) - \cos (0)$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0^{2} - \cos (0)$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - \cos (0)$

Etapa 1.4.1.2.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $π$ por $x$ .

$\sin^{2} (π) - \cos (π)$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sin^{2} (0) - \cos (π)$

Etapa 1.4.2.2.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0^{2} - \cos (π)$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - \cos (π)$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$0 - - \cos (0)$

Etapa 1.4.2.2.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.4.2.2.1.6

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua $\frac{2 π}{3}$ por $x$ .

$\sin^{2} (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sin^{2} (\frac{π}{3}) - \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3^{1}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{3}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{3}{4} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{3}{4} - - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.1.7

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} - - \frac{1}{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.8

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3}{4} + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 1.4.3.2.1.8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Etapa 1.4.3.2.2

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.4.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.3.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Etapa 1.4.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 + 2}{4}$

Etapa 1.4.3.2.5

Some $3$ e $2$ .

$\frac{5}{4}$

Etapa 1.4.4

Liste todos os pontos.

$(0 + 2 π n, - 1), (π + 2 π n, 1), (\frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5}{4})$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(0, - 1), (π, 1), (\frac{2 π}{3}, \frac{5}{4})$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\sin^{2} (0) - \cos (0)$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0^{2} - \cos (0)$

Etapa 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - \cos (0)$

Etapa 3.1.2.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 3.1.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 3.2

Avalie em $x = π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $π$ por $x$ .

$\sin^{2} (π) - \cos (π)$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sin^{2} (0) - \cos (π)$

Etapa 3.2.2.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0^{2} - \cos (π)$

Etapa 3.2.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - \cos (π)$

Etapa 3.2.2.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$0 - - \cos (0)$

Etapa 3.2.2.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.2.2.1.6

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - - 1$

Etapa 3.2.2.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1$

Etapa 3.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(0, - 1), (π, 1)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{2 π}{3}, \frac{5}{4})$

Mínimo absoluto: $(0, - 1)$

Etapa 5