Cálculo Exemplos

Determina o máximo e mínimo absolutos no intervalo dado f(x)=5sin(x)^2 on [0,pi]
on
Etapa 1
Encontre os pontos críticos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.1.2
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.2.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 1.1.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.1.2.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 1.1.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.1.1.4
A derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.1.5
Reordene os fatores de .
Etapa 1.1.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 1.2
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 1.2.2
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 1.2.3
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.1
Defina como igual a .
Etapa 1.2.3.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.1
Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair de dentro do cosseno.
Etapa 1.2.3.2.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.2.1
O valor exato de é .
Etapa 1.2.3.2.3
A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de para determinar a solução no quarto quadrante.
Etapa 1.2.3.2.4
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.4.1
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 1.2.3.2.4.2
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.4.2.1
Combine e .
Etapa 1.2.3.2.4.2.2
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.2.3.2.4.3
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.4.3.1
Multiplique por .
Etapa 1.2.3.2.4.3.2
Subtraia de .
Etapa 1.2.3.2.5
Encontre o período de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.5.1
O período da função pode ser calculado ao usar .
Etapa 1.2.3.2.5.2
Substitua por na fórmula do período.
Etapa 1.2.3.2.5.3
O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre e é .
Etapa 1.2.3.2.5.4
Divida por .
Etapa 1.2.3.2.6
O período da função é . Portanto, os valores se repetirão a cada radianos nas duas direções.
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
Etapa 1.2.4
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.1
Defina como igual a .
Etapa 1.2.4.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.2.1
Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair de dentro do seno.
Etapa 1.2.4.2.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.2.2.1
O valor exato de é .
Etapa 1.2.4.2.3
A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de para determinar a solução no segundo quadrante.
Etapa 1.2.4.2.4
Subtraia de .
Etapa 1.2.4.2.5
Encontre o período de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.2.5.1
O período da função pode ser calculado ao usar .
Etapa 1.2.4.2.5.2
Substitua por na fórmula do período.
Etapa 1.2.4.2.5.3
O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre e é .
Etapa 1.2.4.2.5.4
Divida por .
Etapa 1.2.4.2.6
O período da função é . Portanto, os valores se repetirão a cada radianos nas duas direções.
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
Etapa 1.2.5
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
, para qualquer número inteiro
Etapa 1.2.6
Consolide as respostas.
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
Etapa 1.3
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Etapa 1.4
Avalie em cada valor em que a derivada é ou indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.1
Substitua por .
Etapa 1.4.1.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1
O valor exato de é .
Etapa 1.4.1.2.2
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 1.4.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 1.4.2
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.1
Substitua por .
Etapa 1.4.2.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.1
O valor exato de é .
Etapa 1.4.2.2.2
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 1.4.2.2.3
Multiplique por .
Etapa 1.4.3
Liste todos os pontos.
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
Etapa 2
Exclua os pontos que não estão no intervalo.
Etapa 3
Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
Divida em intervalos separados em torno dos valores de que tornam a primeira derivada ou indefinida.
Etapa 3.2
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 3.2.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.2.1
Avalie .
Etapa 3.2.2.2
Multiplique por .
Etapa 3.2.2.3
Avalie .
Etapa 3.2.2.4
Multiplique por .
Etapa 3.2.2.5
A resposta final é .
Etapa 3.3
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 3.3.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1
Avalie .
Etapa 3.3.2.2
Multiplique por .
Etapa 3.3.2.3
Avalie .
Etapa 3.3.2.4
Multiplique por .
Etapa 3.3.2.5
A resposta final é .
Etapa 3.4
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 3.4.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.2.1
Avalie .
Etapa 3.4.2.2
Multiplique por .
Etapa 3.4.2.3
Avalie .
Etapa 3.4.2.4
Multiplique por .
Etapa 3.4.2.5
A resposta final é .
Etapa 3.5
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.5.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 3.5.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.5.2.1
Avalie .
Etapa 3.5.2.2
Multiplique por .
Etapa 3.5.2.3
Avalie .
Etapa 3.5.2.4
Multiplique por .
Etapa 3.5.2.5
A resposta final é .
Etapa 3.6
Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de , este não é um máximo local nem um mínimo local.
Não é um máximo nem um mínimo local
Etapa 3.7
Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de , então é um máximo local.
é um máximo local
Etapa 3.8
Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de , este não é um máximo local nem um mínimo local.
Não é um máximo nem um mínimo local
Etapa 3.9
Esses são os extremos locais para .
é um máximo local
é um máximo local
Etapa 4
Compare os valores de encontrados para cada valor de para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de .
Máximo absoluto:
Nenhum mínimo absoluto
Etapa 5