Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ , $[- 2, 1]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 1.1.1.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.1.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- x^{- 2} - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Etapa 1.1.1.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Etapa 1.1.1.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Etapa 1.1.1.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Etapa 1.1.1.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 1.1.1.3.10

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$- x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

Etapa 1.1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 3}$

Etapa 1.1.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.6

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Etapa 1.2.2.2

Como $x^{2}, x^{3}, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $x^{2}, x^{3}, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $x^{2}, x^{3}, 1$ .

Etapa 1.2.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.2.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.2.2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.2.2.6

Os fatores para $x^{2}$ são $x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 1.2.2.7

Os fatores para $x^{3}$ são $x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $3$ vezes.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ ocorre $3$ vezes.

Etapa 1.2.2.8

O MMC de $x^{2}, x^{3}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x \cdot x$

Etapa 1.2.2.9

Simplifique $x \cdot x \cdot x$ .

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Etapa 1.2.2.9.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Etapa 1.2.2.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.2.9.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.9.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Etapa 1.2.2.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1}$

Etapa 1.2.2.9.2.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3}$

Etapa 1.2.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- x + 4 = 0 x^{3}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{3}$ .

$- x + 4 = 0$

Etapa 1.2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x = - 4$

Etapa 1.2.4.2

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.3.3

Defina o denominador em $\frac{4}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 1.3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 1.3.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $4$ por $x$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{{(4)}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{16}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{16}$

Etapa 1.4.1.2.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.2.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Etapa 1.4.1.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Etapa 1.4.1.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Etapa 1.4.1.2.2

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

Etapa 1.4.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

Etapa 1.4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - 1}{8}$

Etapa 1.4.1.2.5

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{1}{0} - \frac{2}{{(0)}^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{0} - \frac{2}{0}$

Etapa 1.4.2.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(4, \frac{1}{8})$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ e ${(- 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.2.1

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.2.2

Fatore $- 2$ de $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.2.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.2.3.1

Fatore $- 2$ de ${(- 2)}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.2.1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.2.1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 - 1}{2}$

Etapa 3.1.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.2.1

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Etapa 3.1.2.2.2.2

Divida $- 2$ por $2$ .

$- 1$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Divida $1$ por $1$ .

$1 - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - \frac{2}{1}$

Etapa 3.2.2.1.3

Divida $2$ por $1$ .

$1 - 1 \cdot 2$

Etapa 3.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 - 2$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 1$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, - 1), (1, - 1)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 2, - 1), (1, - 1)$

Mínimo absoluto: $(- 2, - 1), (1, - 1)$

Etapa 5