Cálculo Exemplos

$3 x^{4} + 8 x^{3} + 4$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 8 x^{3} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} + 0$

Etapa 1.4.2

Some $12 x^{3} + 24 x^{2}$ e $0$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} + 24 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{2}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 (2 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$12 x^{3} + 24 x^{2} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 8 x^{3} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $12 x^{3} + 24 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{3} + 24 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{3} + 24 x^{2} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $12 x^{2}$ de $12 x^{3} + 24 x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $12 x^{2}$ de $12 x^{3}$ .

$12 x^{2} (x) + 24 x^{2} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $12 x^{2}$ de $24 x^{2}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (2) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $12 x^{2}$ de $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (2)$ .

$12 x^{2} (x + 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 x^{2} (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$36 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$36 \cdot 0 + 48 (0)$

Etapa 9.1.2

Multiplique $36$ por $0$ .

$0 + 48 (0)$

Etapa 9.1.3

Multiplique $48$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 2)$ na primeira derivada $12 x^{3} + 24 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 12 {(- 4)}^{3} + 24 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f' (- 4) = 12 \cdot - 64 + 24 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $12$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = - 768 + 24 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = - 768 + 24 \cdot 16$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $24$ por $16$ .

$f' (- 4) = - 768 + 384$

Etapa 10.2.2.2

Some $- 768$ e $384$ .

$f' (- 4) = - 384$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 384$ .

$- 384$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $- 1$ , do intervalo $(- 2, 0)$ na primeira derivada $12 x^{3} + 24 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot - 1 + 24 {(- 1)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 + 24 {(- 1)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - 12 + 24 \cdot 1$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $24$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 12 + 24$

Etapa 10.3.2.2

Some $- 12$ e $24$ .

$f' (- 1) = 12$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $12 x^{3} + 24 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 12 \cdot 8 + 24 {(2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $12$ por $8$ .

$f' (2) = 96 + 24 {(2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 96 + 24 \cdot 4$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $24$ por $4$ .

$f' (2) = 96 + 96$

Etapa 10.4.2.2

Some $96$ e $96$ .

$f' (2) = 192$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $192$ .

$192$

Etapa 10.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 2$ , então $x = - 2$ é um mínimo local.

$x = - 2$ é um mínimo local

Etapa 10.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 x^{4} + 8 x^{3} + 4$ .

$x = - 2$ é um mínimo local

Etapa 11