Cálculo Exemplos

Determina o máximo e mínimo absolutos no intervalo dado (4x)/(x^2+1)
Etapa 1
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2
Diferencie usando a regra do quociente, que determina que é , em que e .
Etapa 1.3
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.3.2
Multiplique por .
Etapa 1.3.3
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.3.4
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.3.5
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.3.6
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.6.1
Some e .
Etapa 1.3.6.2
Multiplique por .
Etapa 1.4
Eleve à potência de .
Etapa 1.5
Eleve à potência de .
Etapa 1.6
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.7
Some e .
Etapa 1.8
Subtraia de .
Etapa 1.9
Combine e .
Etapa 1.10
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.10.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.10.2
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.10.2.1
Multiplique por .
Etapa 1.10.2.2
Multiplique por .
Etapa 2
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Diferencie usando a regra do quociente, que determina que é , em que e .
Etapa 2.2
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 2.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 2.2.2
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.2.3
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.4
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.5
Multiplique por .
Etapa 2.2.6
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.7
Some e .
Etapa 2.3
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 2.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.3.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.4
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.1
Multiplique por .
Etapa 2.4.2
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.4.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.4.4
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.4.5
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.5.1
Some e .
Etapa 2.4.5.2
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.4.5.3
Multiplique por .
Etapa 2.5
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.5.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.5.3
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.1
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 2.5.3.1.2
Reescreva como .
Etapa 2.5.3.1.3
Expanda usando o método FOIL.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.3.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.5.3.1.3.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.5.3.1.3.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.5.3.1.4
Simplifique e combine termos semelhantes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.4.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.4.1.1
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.4.1.1.1
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.5.3.1.4.1.1.2
Some e .
Etapa 2.5.3.1.4.1.2
Multiplique por .
Etapa 2.5.3.1.4.1.3
Multiplique por .
Etapa 2.5.3.1.4.1.4
Multiplique por .
Etapa 2.5.3.1.4.2
Some e .
Etapa 2.5.3.1.5
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.5.3.1.6
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.6.1
Multiplique por .
Etapa 2.5.3.1.6.2
Multiplique por .
Etapa 2.5.3.1.7
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.5.3.1.8
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.8.1
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.8.1.1
Mova .
Etapa 2.5.3.1.8.1.2
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.8.1.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 2.5.3.1.8.1.2.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.5.3.1.8.1.3
Some e .
Etapa 2.5.3.1.8.2
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.8.2.1
Mova .
Etapa 2.5.3.1.8.2.2
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.8.2.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 2.5.3.1.8.2.2.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.5.3.1.8.2.3
Some e .
Etapa 2.5.3.1.9
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.9.1
Multiplique por .
Etapa 2.5.3.1.9.2
Multiplique por .
Etapa 2.5.3.1.10
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.10.1
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.10.1.1
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.10.1.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 2.5.3.1.10.1.1.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.5.3.1.10.1.2
Some e .
Etapa 2.5.3.1.10.2
Multiplique por .
Etapa 2.5.3.1.11
Expanda usando o método FOIL.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.11.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.5.3.1.11.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.5.3.1.11.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.5.3.1.12
Simplifique e combine termos semelhantes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.12.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.12.1.1
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.12.1.1.1
Mova .
Etapa 2.5.3.1.12.1.1.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.5.3.1.12.1.1.3
Some e .
Etapa 2.5.3.1.12.1.2
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.12.1.2.1
Mova .
Etapa 2.5.3.1.12.1.2.2
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.3.1.12.1.2.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 2.5.3.1.12.1.2.2.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.5.3.1.12.1.2.3
Some e .
Etapa 2.5.3.1.12.2
Subtraia de .
Etapa 2.5.3.1.12.3
Some e .
Etapa 2.5.3.2
Some e .
Etapa 2.5.3.3
Subtraia de .
Etapa 2.5.4
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.4.1
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.4.1.1
Fatore de .
Etapa 2.5.4.1.2
Fatore de .
Etapa 2.5.4.1.3
Fatore de .
Etapa 2.5.4.1.4
Fatore de .
Etapa 2.5.4.1.5
Fatore de .
Etapa 2.5.4.2
Reescreva como .
Etapa 2.5.4.3
Deixe . Substitua em todas as ocorrências de .
Etapa 2.5.4.4
Fatore usando o método AC.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.4.4.1
Considere a forma . Encontre um par de números inteiros cujo produto é e cuja soma é . Neste caso, cujo produto é e cuja soma é .
Etapa 2.5.4.4.2
Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.
Etapa 2.5.4.5
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.5.5
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.5.1
Fatore de .
Etapa 2.5.5.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.5.2.1
Fatore de .
Etapa 2.5.5.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 2.5.5.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 3
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 4
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.2
Diferencie usando a regra do quociente, que determina que é , em que e .
Etapa 4.1.3
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.3.1
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.3.2
Multiplique por .
Etapa 4.1.3.3
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 4.1.3.4
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.3.5
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.3.6
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.3.6.1
Some e .
Etapa 4.1.3.6.2
Multiplique por .
Etapa 4.1.4
Eleve à potência de .
Etapa 4.1.5
Eleve à potência de .
Etapa 4.1.6
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 4.1.7
Some e .
Etapa 4.1.8
Subtraia de .
Etapa 4.1.9
Combine e .
Etapa 4.1.10
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.10.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 4.1.10.2
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.10.2.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.10.2.2
Multiplique por .
Etapa 4.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 5
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 5.2
Defina o numerador como igual a zero.
Etapa 5.3
Resolva a equação para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.1
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 5.3.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 5.3.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.2.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.2.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.3.2.2.1.2
Divida por .
Etapa 5.3.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.2.3.1
Divida por .
Etapa 5.3.3
Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.
Etapa 5.3.4
Qualquer raiz de é .
Etapa 5.3.5
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.5.1
Primeiro, use o valor positivo de para encontrar a primeira solução.
Etapa 5.3.5.2
Depois, use o valor negativo de para encontrar a segunda solução.
Etapa 5.3.5.3
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Etapa 6
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Etapa 7
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 8
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 9
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Multiplique por .
Etapa 9.2
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.2.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 9.2.2
Some e .
Etapa 9.2.3
Eleve à potência de .
Etapa 9.3
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 9.3.2
Subtraia de .
Etapa 9.4
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.4.1
Multiplique por .
Etapa 9.4.2
Divida por .
Etapa 10
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 11
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 11.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1
Multiplique por .
Etapa 11.2.2
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.2.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 11.2.2.2
Some e .
Etapa 11.2.3
Divida por .
Etapa 11.2.4
A resposta final é .
Etapa 12
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 13
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1
Multiplique por .
Etapa 13.2
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 13.2.2
Some e .
Etapa 13.2.3
Eleve à potência de .
Etapa 13.3
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.3.1
Eleve à potência de .
Etapa 13.3.2
Subtraia de .
Etapa 13.4
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.4.1
Multiplique por .
Etapa 13.4.2
Divida por .
Etapa 14
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 15
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 15.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.2.1
Multiplique por .
Etapa 15.2.2
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.2.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 15.2.2.2
Some e .
Etapa 15.2.3
Divida por .
Etapa 15.2.4
A resposta final é .
Etapa 16
Esses são os extremos locais para .
é um máximo local
é um mínimo local
Etapa 17