Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{8 x^{2}}{x - 2}$ , $[- 2, 1]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8 x^{2}}{x - 2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2$ .

$8 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 \frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 2$ .

$8 \frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6.3

Combine $8$ e $\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 (2 (x - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 ((2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 (2 x \cdot x) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{8 (2 (x \cdot x)) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{8 (2 x^{2}) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.4.1.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{16 x^{2} + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{16 x^{2} + 8 (- 4 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.4.1.4

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$\frac{16 x^{2} - 32 x + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{16 x^{2} - 32 x - 8 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.4.2

Subtraia $8 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 32 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.5

Fatore $8 x$ de $8 x^{2} - 32 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.5.1

Fatore $8 x$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{8 x (x) - 32 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.5.2

Fatore $8 x$ de $- 32 x$ .

$\frac{8 x (x) + 8 x (- 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.5.3

Fatore $8 x$ de $8 x (x) + 8 x (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 x (x - 4) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.3.3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $8 x (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.3.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{8 x^{2}}{x - 2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{8 {(0)}^{2}}{(0) - 2}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Cancele o fator comum de $8$ e $(0) - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Fatore $2$ de $8 {(0)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{(0) - 2}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.2.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 (0) - 2}$

Etapa 1.4.1.2.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 1.4.1.2.1.2.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Etapa 1.4.1.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Etapa 1.4.1.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{4 {(0)}^{2}}{0 - 1}$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{0 - 1}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{- 1}$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Etapa 1.4.1.2.2.4

Divida $0$ por $- 1$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

$\frac{8 {(4)}^{2}}{(4) - 2}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ e $(4) - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Fatore $2$ de $8 {(4)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{(4) - 2}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 (2) - 2}$

Etapa 1.4.2.2.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 1.4.2.2.1.2.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Etapa 1.4.2.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Etapa 1.4.2.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{4 {(4)}^{2}}{2 - 1}$

Etapa 1.4.2.2.2

Multiplique $4$ por ${(4)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$\frac{4^{1} {(4)}^{2}}{2 - 1}$

Etapa 1.4.2.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4^{1 + 2}}{2 - 1}$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4^{3}}{2 - 1}$

Etapa 1.4.2.2.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{64}{2 - 1}$

Etapa 1.4.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{64}{1}$

Etapa 1.4.2.2.5

Divida $64$ por $1$ .

$64$

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

$\frac{8 {(2)}^{2}}{(2) - 2}$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{8 {(2)}^{2}}{0}$

Etapa 1.4.3.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (4, 64)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(0, 0)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$\frac{8 {(- 2)}^{2}}{(- 2) - 2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $8$ e $(- 2) - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Fatore $2$ de $8 {(- 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{(- 2) - 2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 (- 1) - 2}$

Etapa 3.1.2.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 3.1.2.1.2.3

Fatore $2$ de $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Etapa 3.1.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Etapa 3.1.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{4 {(- 2)}^{2}}{- 1 - 1}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 \cdot 4}{- 1 - 1}$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{4 \cdot 4}{- 2}$

Etapa 3.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{16}{- 2}$

Etapa 3.1.2.2.4

Divida $16$ por $- 2$ .

$- 8$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{8 {(1)}^{2}}{(1) - 2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{8 \cdot 1}{1 - 2}$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{8 \cdot 1}{- 1}$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{8}{- 1}$

Etapa 3.2.2.4

Divida $8$ por $- 1$ .

$- 8$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, - 8), (1, - 8)$

Etapa 4

Compare os valores de $g (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $g (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $g (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 0)$

Mínimo absoluto: $(- 2, - 8), (1, - 8)$

Etapa 5