Cálculo Exemplos

Determina o máximo e mínimo absolutos no intervalo dado f(x)=x^2+320/x ; (0,infinity)
;
Etapa 1
Encontre os pontos críticos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.1.1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.1.2.2
Reescreva como .
Etapa 1.1.1.2.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.1.2.4
Multiplique por .
Etapa 1.1.1.3
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.3.1
Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo .
Etapa 1.1.1.3.2
Combine os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.3.2.1
Combine e .
Etapa 1.1.1.3.2.2
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 1.1.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 1.2
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 1.2.2
Encontre o MMC dos termos na equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.2.1
Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.
Etapa 1.2.2.2
O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.
Etapa 1.2.3
Multiplique cada termo em por para eliminar as frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.1
Multiplique cada termo em por .
Etapa 1.2.3.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.1.1
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.1.1.1
Mova .
Etapa 1.2.3.2.1.1.2
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.1.1.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.2.3.2.1.1.2.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.2.3.2.1.1.3
Some e .
Etapa 1.2.3.2.1.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.1.2.1
Mova o negativo de maior ordem em para o numerador.
Etapa 1.2.3.2.1.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.2.3.2.1.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.2.3.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.3.1
Multiplique por .
Etapa 1.2.4
Resolva a equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.1
Some aos dois lados da equação.
Etapa 1.2.4.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 1.2.4.3
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.3.1
Fatore de .
Etapa 1.2.4.3.2
Fatore de .
Etapa 1.2.4.3.3
Fatore de .
Etapa 1.2.4.4
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.4.1
Divida cada termo em por .
Etapa 1.2.4.4.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.4.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.4.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.2.4.4.2.1.2
Divida por .
Etapa 1.2.4.4.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.4.3.1
Divida por .
Etapa 1.2.4.5
Some aos dois lados da equação.
Etapa 1.2.4.6
Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.
Etapa 1.2.4.7
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.7.1
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.7.1.1
Fatore de .
Etapa 1.2.4.7.1.2
Reescreva como .
Etapa 1.2.4.7.2
Elimine os termos abaixo do radical.
Etapa 1.3
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
Defina o denominador em como igual a para encontrar onde a expressão está indefinida.
Etapa 1.3.2
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.2.1
Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.
Etapa 1.3.2.2
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.2.2.1
Reescreva como .
Etapa 1.3.2.2.2
Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.
Etapa 1.3.2.2.3
Mais ou menos é .
Etapa 1.4
Avalie em cada valor em que a derivada é ou indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.1
Substitua por .
Etapa 1.4.1.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1.1
Aplique a regra do produto a .
Etapa 1.4.1.2.1.2
Eleve à potência de .
Etapa 1.4.1.2.1.3
Reescreva como .
Etapa 1.4.1.2.1.4
Eleve à potência de .
Etapa 1.4.1.2.1.5
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1.5.1
Fatore de .
Etapa 1.4.1.2.1.5.2
Reescreva como .
Etapa 1.4.1.2.1.6
Elimine os termos abaixo do radical.
Etapa 1.4.1.2.1.7
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.1.8
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1.8.1
Fatore de .
Etapa 1.4.1.2.1.8.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1.8.2.1
Fatore de .
Etapa 1.4.1.2.1.8.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.4.1.2.1.8.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.4.1.2.1.9
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.1.10
Combine e simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1.10.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.1.10.2
Eleve à potência de .
Etapa 1.4.1.2.1.10.3
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.4.1.2.1.10.4
Some e .
Etapa 1.4.1.2.1.10.5
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1.10.5.1
Use para reescrever como .
Etapa 1.4.1.2.1.10.5.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 1.4.1.2.1.10.5.3
Combine e .
Etapa 1.4.1.2.1.10.5.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1.10.5.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.4.1.2.1.10.5.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 1.4.1.2.1.10.5.5
Avalie o expoente.
Etapa 1.4.1.2.1.11
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1.11.1
Fatore de .
Etapa 1.4.1.2.1.11.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1.11.2.1
Fatore de .
Etapa 1.4.1.2.1.11.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.4.1.2.1.11.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.4.1.2.1.11.2.4
Divida por .
Etapa 1.4.1.2.1.12
Reescreva como .
Etapa 1.4.1.2.1.13
Eleve à potência de .
Etapa 1.4.1.2.1.14
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1.14.1
Fatore de .
Etapa 1.4.1.2.1.14.2
Reescreva como .
Etapa 1.4.1.2.1.15
Elimine os termos abaixo do radical.
Etapa 1.4.1.2.1.16
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.2
Some e .
Etapa 1.4.2
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.1
Substitua por .
Etapa 1.4.2.2
A expressão contém uma divisão por . A expressão é indefinida.
Indefinido
Indefinido
Etapa 1.4.3
Liste todos os pontos.
Etapa 2
Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Divida em intervalos separados em torno dos valores de que tornam a primeira derivada ou indefinida.
Etapa 2.2
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 2.2.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 2.2.2.1.2
Eleve à potência de .
Etapa 2.2.2.1.3
Divida por .
Etapa 2.2.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 2.2.2.2
Subtraia de .
Etapa 2.2.2.3
A resposta final é .
Etapa 2.3
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 2.3.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 2.3.2.1.2
Eleve à potência de .
Etapa 2.3.2.1.3
Divida por .
Etapa 2.3.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 2.3.2.2
Subtraia de .
Etapa 2.3.2.3
A resposta final é .
Etapa 2.4
Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de , então é um mínimo local.
é um mínimo local
é um mínimo local
Etapa 3
Compare os valores de encontrados para cada valor de para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de .
Nenhum máximo absoluto
Mínimo absoluto:
Etapa 4