Cálculo Exemplos

$g (x) = e^{- x^{4}}$ , $- 2 \leq x \leq 1$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{4}$ .

$e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})$ .

$- 4 e^{- x^{4}} x^{3}$

Etapa 1.1.1.3.2

Reordene os fatores em $- 4 e^{- x^{4}} x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $- 4 x^{3} e^{- x^{4}}$ .

$- 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$

Etapa 1.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- x^{4}} = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 1.2.3.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $e^{- x^{4}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $e^{- x^{4}}$ como igual a $0$ .

$e^{- x^{4}} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $e^{- x^{4}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x^{4}}) = \ln (0)$

Etapa 1.2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- x^{4}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 1.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$ verdadeiro.

$x = 0$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $e^{- x^{4}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$e^{- {(0)}^{4}}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e^{- 0}$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e^{0}$

Etapa 1.4.1.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 1)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$e^{- {(- 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$e^{- 1 \cdot 16}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$e^{- 16}$

Etapa 2.1.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{16}}$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$e^{- {(1)}^{4}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e^{- 1 \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- 1}$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, \frac{1}{e^{16}}), (1, \frac{1}{e})$

Etapa 3

Compare os valores de $g (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $g (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $g (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 1)$

Mínimo absoluto: $(- 2, \frac{1}{e^{16}})$

Etapa 4