Cálculo Exemplos

Determina o máximo e mínimo absolutos no intervalo dado x^4+4x^3-9
Etapa 1
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.3
Multiplique por .
Etapa 1.3
Diferencie usando a regra da constante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.3.2
Some e .
Etapa 2
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.3
Multiplique por .
Etapa 2.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.3.3
Multiplique por .
Etapa 3
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 4
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 4.1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 4.1.3
Diferencie usando a regra da constante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.3.2
Some e .
Etapa 4.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 5
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 5.2
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1
Fatore de .
Etapa 5.2.2
Fatore de .
Etapa 5.2.3
Fatore de .
Etapa 5.3
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 5.4
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.1
Defina como igual a .
Etapa 5.4.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1
Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.
Etapa 5.4.2.2
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.2.1
Reescreva como .
Etapa 5.4.2.2.2
Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.
Etapa 5.4.2.2.3
Mais ou menos é .
Etapa 5.5
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.1
Defina como igual a .
Etapa 5.5.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 5.6
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 6
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Etapa 7
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 8
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 9
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 9.1.2
Multiplique por .
Etapa 9.1.3
Multiplique por .
Etapa 9.2
Some e .
Etapa 10
Como há pelo menos um ponto com ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.1
Divida em intervalos separados em torno dos valores de que tornam a primeira derivada ou indefinida.
Etapa 10.2
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.2.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 10.2.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.2.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.2.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 10.2.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 10.2.2.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 10.2.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 10.2.2.2
Some e .
Etapa 10.2.2.3
A resposta final é .
Etapa 10.3
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.3.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 10.3.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.3.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.3.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 10.3.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 10.3.2.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 10.3.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 10.3.2.2
Some e .
Etapa 10.3.2.3
A resposta final é .
Etapa 10.4
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.4.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 10.4.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.4.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 10.4.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 10.4.2.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 10.4.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 10.4.2.2
Some e .
Etapa 10.4.2.3
A resposta final é .
Etapa 10.5
Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de , então é um mínimo local.
é um mínimo local
Etapa 10.6
Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de , este não é um máximo local nem um mínimo local.
Não é um máximo nem um mínimo local
Etapa 10.7
Esses são os extremos locais para .
é um mínimo local
é um mínimo local
Etapa 11