Cálculo Exemplos

Determina o máximo e mínimo absolutos no intervalo dado f(x)=( logaritmo natural de x)/x
Etapa 1
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Diferencie usando a regra do quociente, que determina que é , em que e .
Etapa 1.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 1.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
Combine e .
Etapa 1.3.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.3.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 1.3.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.3.4
Multiplique por .
Etapa 2
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Diferencie usando a regra do quociente, que determina que é , em que e .
Etapa 2.2
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 2.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 2.2.2
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.2.3
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.4
Some e .
Etapa 2.2.5
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.3
A derivada de em relação a é .
Etapa 2.4
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.1
Combine e .
Etapa 2.4.2
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.2.1
Fatore de .
Etapa 2.4.2.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.2.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 2.4.2.2.2
Fatore de .
Etapa 2.4.2.2.3
Cancele o fator comum.
Etapa 2.4.2.2.4
Reescreva a expressão.
Etapa 2.4.2.2.5
Divida por .
Etapa 2.4.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.4.4
Simplifique com fatoração.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.4.1
Multiplique por .
Etapa 2.4.4.2
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.4.2.1
Fatore de .
Etapa 2.4.4.2.2
Fatore de .
Etapa 2.4.4.2.3
Fatore de .
Etapa 2.5
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.1
Fatore de .
Etapa 2.5.2
Cancele o fator comum.
Etapa 2.5.3
Reescreva a expressão.
Etapa 2.6
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.6.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.6.2
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.6.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.6.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 2.6.2.1.2
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.6.2.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 2.6.2.1.2.2
Simplifique movendo para dentro do logaritmo.
Etapa 2.6.2.2
Subtraia de .
Etapa 2.6.3
Reescreva como .
Etapa 2.6.4
Fatore de .
Etapa 2.6.5
Fatore de .
Etapa 2.6.6
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 3
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 4
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1
Diferencie usando a regra do quociente, que determina que é , em que e .
Etapa 4.1.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.3.1
Combine e .
Etapa 4.1.3.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.3.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 4.1.3.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 4.1.3.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.3.4
Multiplique por .
Etapa 4.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 5
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 5.2
Defina o numerador como igual a zero.
Etapa 5.3
Resolva a equação para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.1
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 5.3.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 5.3.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.2.2.1
Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.
Etapa 5.3.2.2.2
Divida por .
Etapa 5.3.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.2.3.1
Divida por .
Etapa 5.3.3
Para resolver , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.
Etapa 5.3.4
Reescreva na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se e forem números reais positivos e , então, será equivalente a .
Etapa 5.3.5
Reescreva a equação como .
Etapa 6
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Defina o denominador em como igual a para encontrar onde a expressão está indefinida.
Etapa 6.2
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1
Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.
Etapa 6.2.2
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.2.1
Reescreva como .
Etapa 6.2.2.2
Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.
Etapa 6.2.2.3
Mais ou menos é .
Etapa 6.3
Defina o argumento em como menor do que ou igual a para encontrar onde a expressão está indefinida.
Etapa 6.4
A equação é indefinida quando o denominador é igual a , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a .
Etapa 7
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 8
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 9
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Use as regras logarítmicas para mover para fora do expoente.
Etapa 9.2
O logaritmo natural de é .
Etapa 9.3
Multiplique por .
Etapa 9.4
Multiplique por .
Etapa 9.5
Subtraia de .
Etapa 10
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 11
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 11.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1
O logaritmo natural de é .
Etapa 11.2.2
A resposta final é .
Etapa 12
Esses são os extremos locais para .
é um máximo local
Etapa 13