Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 27 x$ on $- 4$ , $4$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 27 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 27 x]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 27 x$ em relação a $x$ é $- 27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 27 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $- 27$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 27$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 27$ .

$3 x^{2} - 27$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 27 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 27 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $27$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 27$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 27$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 27$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{27}{3}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{27}{3}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{3}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida $27$ por $3$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 1.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 1.2.5

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 1.2.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 1.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 1.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 1.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{3} - 27 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $3$ por $x$ .

${(3)}^{3} - 27 \cdot 3$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 27 \cdot 3$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $- 27$ por $3$ .

$27 - 81$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $81$ de $27$ .

$- 54$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

${(- 3)}^{3} - 27 \cdot - 3$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 27 - 27 \cdot - 3$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $- 27$ por $- 3$ .

$- 27 + 81$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $- 27$ e $81$ .

$54$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(3, - 54), (- 3, 54)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 4$ por $x$ .

${(- 4)}^{3} - 27 \cdot - 4$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$- 64 - 27 \cdot - 4$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $- 27$ por $- 4$ .

$- 64 + 108$

Etapa 2.1.2.2

Some $- 64$ e $108$ .

$44$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

${(4)}^{3} - 27 \cdot 4$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$64 - 27 \cdot 4$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $- 27$ por $4$ .

$64 - 108$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $108$ de $64$ .

$- 44$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 4, 44), (4, - 44)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 3, 54)$

Mínimo absoluto: $(3, - 54)$

Etapa 4