Cálculo Exemplos

Determina o máximo e mínimo absolutos no intervalo dado y=sin(x)cos(x) , 0<=x<=pi
,
Etapa 1
Encontre os pontos críticos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.1
Diferencie usando a regra do produto, que determina que é , em que e .
Etapa 1.1.1.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 1.1.1.4
Eleve à potência de .
Etapa 1.1.1.5
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.1.1.6
Some e .
Etapa 1.1.1.7
A derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.1.8
Eleve à potência de .
Etapa 1.1.1.9
Eleve à potência de .
Etapa 1.1.1.10
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.1.1.11
Some e .
Etapa 1.1.1.12
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.12.1
Reordene e .
Etapa 1.1.1.12.2
Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, em que e .
Etapa 1.1.1.12.3
Expanda usando o método FOIL.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.12.3.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.1.1.12.3.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.1.1.12.3.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.1.1.12.4
Combine os termos opostos em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.12.4.1
Reorganize os fatores nos termos e .
Etapa 1.1.1.12.4.2
Some e .
Etapa 1.1.1.12.4.3
Some e .
Etapa 1.1.1.12.5
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.12.5.1
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.12.5.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.1.1.12.5.1.2
Eleve à potência de .
Etapa 1.1.1.12.5.1.3
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.1.1.12.5.1.4
Some e .
Etapa 1.1.1.12.5.2
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 1.1.1.12.5.3
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.12.5.3.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.1.1.12.5.3.2
Eleve à potência de .
Etapa 1.1.1.12.5.3.3
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.1.1.12.5.3.4
Some e .
Etapa 1.1.1.12.6
Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.
Etapa 1.1.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 1.2
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 1.2.2
Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair de dentro do cosseno.
Etapa 1.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.1
O valor exato de é .
Etapa 1.2.4
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.1
Divida cada termo em por .
Etapa 1.2.4.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.2.4.2.1.2
Divida por .
Etapa 1.2.4.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.3.1
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 1.2.4.3.2
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.3.2.1
Multiplique por .
Etapa 1.2.4.3.2.2
Multiplique por .
Etapa 1.2.5
A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de para determinar a solução no quarto quadrante.
Etapa 1.2.6
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.6.1
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.6.1.1
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 1.2.6.1.2
Combine e .
Etapa 1.2.6.1.3
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.2.6.1.4
Multiplique por .
Etapa 1.2.6.1.5
Subtraia de .
Etapa 1.2.6.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.6.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 1.2.6.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.6.2.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.6.2.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.2.6.2.2.1.2
Divida por .
Etapa 1.2.6.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.6.2.3.1
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 1.2.6.2.3.2
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.6.2.3.2.1
Multiplique por .
Etapa 1.2.6.2.3.2.2
Multiplique por .
Etapa 1.2.7
Encontre o período de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.7.1
O período da função pode ser calculado ao usar .
Etapa 1.2.7.2
Substitua por na fórmula do período.
Etapa 1.2.7.3
O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre e é .
Etapa 1.2.7.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.7.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.2.7.4.2
Divida por .
Etapa 1.2.8
O período da função é . Portanto, os valores se repetirão a cada radianos nas duas direções.
, para qualquer número inteiro
Etapa 1.2.9
Consolide as respostas.
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
Etapa 1.3
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Etapa 1.4
Avalie em cada valor em que a derivada é ou indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.1
Substitua por .
Etapa 1.4.1.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1
O valor exato de é .
Etapa 1.4.1.2.2
O valor exato de é .
Etapa 1.4.1.2.3
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.3.2
Eleve à potência de .
Etapa 1.4.1.2.3.3
Eleve à potência de .
Etapa 1.4.1.2.3.4
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.4.1.2.3.5
Some e .
Etapa 1.4.1.2.3.6
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.4
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.4.1
Use para reescrever como .
Etapa 1.4.1.2.4.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 1.4.1.2.4.3
Combine e .
Etapa 1.4.1.2.4.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.4.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.4.1.2.4.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 1.4.1.2.4.5
Avalie o expoente.
Etapa 1.4.1.2.5
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.5.1
Fatore de .
Etapa 1.4.1.2.5.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.5.2.1
Fatore de .
Etapa 1.4.1.2.5.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.4.1.2.5.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.4.2
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.1
Substitua por .
Etapa 1.4.2.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.1
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.
Etapa 1.4.2.2.2
O valor exato de é .
Etapa 1.4.2.2.3
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.
Etapa 1.4.2.2.4
O valor exato de é .
Etapa 1.4.2.2.5
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.5.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.2.2.5.2
Eleve à potência de .
Etapa 1.4.2.2.5.3
Eleve à potência de .
Etapa 1.4.2.2.5.4
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.4.2.2.5.5
Some e .
Etapa 1.4.2.2.5.6
Multiplique por .
Etapa 1.4.2.2.6
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.6.1
Use para reescrever como .
Etapa 1.4.2.2.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 1.4.2.2.6.3
Combine e .
Etapa 1.4.2.2.6.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.6.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.4.2.2.6.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 1.4.2.2.6.5
Avalie o expoente.
Etapa 1.4.2.2.7
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.7.1
Fatore de .
Etapa 1.4.2.2.7.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.7.2.1
Fatore de .
Etapa 1.4.2.2.7.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.4.2.2.7.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.4.3
Liste todos os pontos.
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
Etapa 2
Exclua os pontos que não estão no intervalo.
Etapa 3
Avalie nos pontos finais incluídos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.1
Substitua por .
Etapa 3.1.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1
O valor exato de é .
Etapa 3.1.2.2
O valor exato de é .
Etapa 3.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 3.2
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1
Substitua por .
Etapa 3.2.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.2.1
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.
Etapa 3.2.2.2
O valor exato de é .
Etapa 3.2.2.3
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.
Etapa 3.2.2.4
O valor exato de é .
Etapa 3.2.2.5
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.2.5.1
Multiplique por .
Etapa 3.2.2.5.2
Multiplique por .
Etapa 3.3
Liste todos os pontos.
Etapa 4
Compare os valores de encontrados para cada valor de para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de .
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto:
Etapa 5