Cálculo Exemplos

$y = 2 - | t - 2 |$ , $[- 9, 4]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - | t - 2 |$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Etapa 1.1.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- | t - 2 |$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = | t |$ e $g (t) = t - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t - 2$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d t} [t - 2])$

Etapa 1.1.1.2.2.2

A derivada de $| u |$ em relação a $u$ é $\frac{u}{| u |}$ .

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Etapa 1.1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t - 2$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Etapa 1.1.1.2.5

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + 0))$

Etapa 1.1.1.2.6

Some $1$ e $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \cdot 1)$

Etapa 1.1.1.2.7

Multiplique $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ por $1$ .

$0 - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Etapa 1.1.1.3

Subtraia $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ de $0$ .

$f' (t) = - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$t - 2 = 0$

Etapa 1.2.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$t = 2$

Etapa 1.2.4

Exclua as soluções que não tornam $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$| t - 2 | = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $t$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$t - 2 = \pm 0$

Etapa 1.3.2.2

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$t - 2 = 0$

Etapa 1.3.2.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$t = 2$

Etapa 1.4

Avalie $2 - | t - 2 |$ em cada valor $t$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $t = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $2$ por $t$ .

$2 - | (2) - 2 |$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$2 - | 0 |$

Etapa 1.4.1.2.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$2 - 0$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(2, 2)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $t = - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 9$ por $t$ .

$2 - | (- 9) - 2 |$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Subtraia $2$ de $- 9$ .

$2 - | - 11 |$

Etapa 2.1.2.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 11$ e $0$ é $11$ .

$2 - 1 \cdot 11$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$2 - 11$

Etapa 2.1.2.2

Subtraia $11$ de $2$ .

$- 9$

Etapa 2.2

Avalie em $t = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $4$ por $t$ .

$2 - | (4) - 2 |$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Subtraia $2$ de $4$ .

$2 - | 2 |$

Etapa 2.2.2.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$2 - 1 \cdot 2$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 - 2$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 9, - 9), (4, 0)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (t)$ encontrados para cada valor de $t$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (t)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (t)$ .

Máximo absoluto: $(2, 2)$

Mínimo absoluto: $(- 9, - 9)$

Etapa 4