Cálculo Exemplos

$3 y^{2} - \sqrt{x} = 23$ , $(16, 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 16$ e $y = 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 23$

Etapa 1.2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 1.3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.3.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.3.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.3.3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.3.9

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.4

Como $23$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $23$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 1.6

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.6.1

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ aos dois lados da equação.

$6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6.2

Divida cada termo em $6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $6 y$ e simplifique.

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Etapa 1.6.2.1

Divida cada termo em $6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $6 y$ .

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Etapa 1.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 1.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Etapa 1.6.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Etapa 1.6.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Etapa 1.6.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Etapa 1.6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.6.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 y}$

Etapa 1.6.2.3.2

Combine.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y)}$

Etapa 1.6.2.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.2.3.3.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 y}$

Etapa 1.6.2.3.3.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$y' = \frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} y}$

Etapa 1.6.2.3.3.3

Reordene os fatores em $\frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{12 y x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8

Avalie em $x = 16$ e $y = 3$ .

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Etapa 1.8.1

Substitua a variável $x$ por $16$ na expressão.

$\frac{1}{12 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.2

Substitua a variável $y$ por $3$ na expressão.

$\frac{1}{12 (3) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.3

Multiplique $12$ por $3$ .

$\frac{1}{36 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.8.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{36 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{36 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.8.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.8.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{36 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.8.4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{36 \cdot 4^{1}}$

Etapa 1.8.4.4

Avalie o expoente.

$\frac{1}{36 \cdot 4}$

Etapa 1.8.5

Multiplique $36$ por $4$ .

$\frac{1}{144}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{144}$ e um ponto determinado $(16, 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{144} \cdot (x - (16))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 = \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{144} \cdot (x - 16)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 3 = \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 3 = \frac{1}{144} x + \frac{1}{144} \cdot - 16$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{144}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{144} \cdot - 16$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $16$ de $144$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 (9)} \cdot - 16$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $16$ de $- 16$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 \cdot 9} \cdot (16 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 \cdot 9} \cdot (16 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{9} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{1}{9}$ e $- 1$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{- 1}{9}$

Etapa 2.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 3 = \frac{x}{144} - \frac{1}{9}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + 3$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $3$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x}{144} + \frac{- 1 + 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $3$ por $9$ .

$y = \frac{x}{144} + \frac{- 1 + 27}{9}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 1$ e $27$ .

$y = \frac{x}{144} + \frac{26}{9}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{144} x + \frac{26}{9}$

Etapa 3