Cálculo Exemplos

$y = {(x^{3} - 4 x)}^{14}$ at the point $(- 2, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 2$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{14}$ e $g (x) = x^{3} - 4 x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{14}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 14$ .

$14 u^{13} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - 4 x$ .

$14 {(x^{3} - 4 x)}^{13} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$14 {(x^{3} - 4 x)}^{13} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$14 {(x^{3} - 4 x)}^{13} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Etapa 1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 {(x^{3} - 4 x)}^{13} (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$14 {(x^{3} - 4 x)}^{13} (3 x^{2} - 4 \cdot 1)$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$14 {(x^{3} - 4 x)}^{13} (3 x^{2} - 4)$

Etapa 1.3

Avalie a derivada em $x = - 2$ .

$14 {({(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2)}^{13} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$14 {(- 8 - 4 \cdot - 2)}^{13} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

Etapa 1.4.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$14 {(- 8 + 8)}^{13} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

Etapa 1.4.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.2.1

Some $- 8$ e $8$ .

$14 \cdot 0^{13} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

Etapa 1.4.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$14 \cdot 0 (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

Etapa 1.4.2.3

Multiplique $14$ por $0$ .

$0 (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

Etapa 1.4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$0 (3 \cdot 4 - 4)$

Etapa 1.4.3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$0 (12 - 4)$

Etapa 1.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.4.1

Subtraia $4$ de $12$ .

$0 \cdot 8$

Etapa 1.4.4.2

Multiplique $0$ por $8$ .

$0$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $0$ e um ponto determinado $(- 2, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 0 \cdot (x - (- 2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 0 \cdot (x + 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = 0 \cdot (x + 2)$

Etapa 2.3.2

Multiplique $0$ por $x + 2$ .

$y = 0$

Etapa 3