Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ at $(3, 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Etapa 1.3.2

Some $3 x^{2} - 6 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 3$ .

$3 {(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.1.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$3^{1} {(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

Etapa 1.5.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3^{1 + 2} - 6 \cdot 3$

Etapa 1.5.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$3^{3} - 6 \cdot 3$

Etapa 1.5.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 6 \cdot 3$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$27 - 18$

Etapa 1.5.2

Subtraia $18$ de $27$ .

$9$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $9$ e um ponto determinado $(3, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 9 \cdot (x - (3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = 9 \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $9 \cdot (x - 3)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 2 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 2 = 9 \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 2 = 9 x + 9 \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $9$ por $- 3$ .

$y - 2 = 9 x - 27$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 9 x - 27 + 2$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 27$ e $2$ .

$y = 9 x - 25$

Etapa 3