Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ at $(3, \frac{1}{27})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = \frac{1}{27}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 1.3.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Etapa 1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 3$ .

$- \frac{3}{{(3)}^{4}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $3$ e ${(3)}^{4}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{3 (1)}{{(3)}^{4}}$

Etapa 1.5.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.1.2.1

Fatore $3$ de ${(3)}^{4}$ .

$- \frac{3 (1)}{3 \cdot 3^{3}}$

Etapa 1.5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3^{3}}$

Etapa 1.5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{3^{3}}$

Etapa 1.5.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \frac{1}{27}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{1}{27}$ e um ponto determinado $(3, \frac{1}{27})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{1}{27} \cdot (x - (3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} x - \frac{1}{27} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{1}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} - \frac{1}{27} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{27}$ para o numerador.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{27} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $3$ de $27$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 (9)} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.5.3

Fatore $3$ de $- 3$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Cancele o fator comum.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.5

Reescreva a expressão.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{9} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{- 1}{9}$ e $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- - 1}{9}$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{1}{27}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $\frac{1}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{27}$

Etapa 2.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{27} + \frac{1}{27}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3 + 1}{27}$

Etapa 2.3.2.5

Some $3$ e $1$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{4}{27}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{1}{27} x) + \frac{4}{27}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{27} x + \frac{4}{27}$

Etapa 3