Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2}{x^{2}}$ ; $x = 1$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{2}{1^{2}}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique $\frac{2}{{(1)}^{2}}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{2}{1}$

Etapa 1.2.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$y = 2$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$2 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 2.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 4 x^{- 3}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.5.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 4}{x^{3}}$

Etapa 2.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{x^{3}}$

Etapa 2.6

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$- \frac{4}{{(1)}^{3}}$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{4}{1}$

Etapa 2.7.2

Divida $4$ por $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Etapa 2.7.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- 4$ e um ponto determinado $(1, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 4 \cdot (x - (1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = - 4 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- 4 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 2 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 2 = - 4 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 2 = - 4 x - 4 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y - 2 = - 4 x + 4$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = - 4 x + 4 + 2$

Etapa 3.3.2.2

Some $4$ e $2$ .

$y = - 4 x + 6$

Etapa 4