Cálculo Exemplos

$y = \frac{1 + x}{1 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = \frac{1}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $1 + e^{x}$ por $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.3.1.2

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.3.2

Combine os termos opostos em $1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

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Etapa 1.4.3.2.1

Subtraia $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{1 + 0 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.3.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.4

Reordene os termos.

$\frac{- e^{x} x + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.5

Fatore $- 1$ de $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.6

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.7

Fatore $- 1$ de $- (e^{x} x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.8

Reescreva $- (e^{x} x - 1)$ como $- 1 (e^{x} x - 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.10

Reordene os fatores em $- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$- \frac{0 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Etapa 1.6.2.2

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{- 1}{2^{2}}$

Etapa 1.6.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{- 1}{4}$

Etapa 1.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{1}{4}$

Etapa 1.6.4

Multiplique $- - \frac{1}{4}$ .

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Etapa 1.6.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Etapa 1.6.4.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{4}$ e um ponto determinado $(0, \frac{1}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Some $x$ e $0$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot x$

Etapa 2.3.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$

Etapa 3