Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(- 1, - 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = - 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x^{2} + 1$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.9

Combine $2$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.10.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.11

Avalie a derivada em $x = - 1$ .

$\frac{- 2 {(- 1)}^{2} + 2}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.12

Simplifique.

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Etapa 1.12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.12.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 + 2}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.12.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 + 2}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.12.1.3

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.12.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.12.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

Etapa 1.12.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{0}{2^{2}}$

Etapa 1.12.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4}$

Etapa 1.12.3

Divida $0$ por $4$ .

$0$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $0$ e um ponto determinado $(- 1, - 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 0 \cdot (x - (- 1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 1 = 0 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $0$ por $x + 1$ .

$y + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - 1$

Etapa 3