Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{x^{3} + 1}$ at $(2, 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{3} + 1}$ como ${(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.7

Combine frações.

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Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.7.3

Mova ${(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 0)$

Etapa 1.11

Combine frações.

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Etapa 1.11.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

Etapa 1.11.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Etapa 1.11.3

Combine $\frac{3}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.12

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$\frac{3 {(2)}^{2}}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13

Simplifique.

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Etapa 1.13.1

Fatore $2$ de $3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.13.2.1

Fatore $2$ de $2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 ({({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 2}{{({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{{(2^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.13.4.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{6}{{(8 + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.4.2

Some $8$ e $1$ .

$\frac{6}{9^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.4.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{6}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.4.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.13.4.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.13.4.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.13.4.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{3^{1}}$

Etapa 1.13.4.6

Avalie o expoente.

$\frac{6}{3}$

Etapa 1.13.5

Divida $6$ por $3$ .

$2$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $2$ e um ponto determinado $(2, 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 2 \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $2 \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 3 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 3 = 2 x + 2 \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y - 3 = 2 x - 4$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = 2 x - 4 + 3$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 4$ e $3$ .

$y = 2 x - 1$

Etapa 3