Cálculo Exemplos

${(x - y - 1)}^{3} = x$ ; $(1, - 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = - 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(x - y - 1)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - y - 1$ .

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Etapa 1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - y - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - y - 1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + 0)$

Etapa 1.2.5

Some $1 - y'$ e $0$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y')$

Etapa 1.2.6

Simplifique.

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Etapa 1.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

Etapa 1.2.6.2

Combine os termos.

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Etapa 1.2.6.2.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

Etapa 1.2.6.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y' = 1$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Reordene os fatores em $3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3 {(x - y - 1)}^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$

Etapa 1.5.3

Divida cada termo em $- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ por $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ e simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Divida cada termo em $- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ por $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ .

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 1.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de ${(x - y - 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.3.1

Para escrever $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.3.3.2

Para escrever $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 {(x - y - 1)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{- 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.5.3.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.5.3.3.3.3

Multiplique $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}$

Etapa 1.5.3.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.3.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$y' = \frac{- 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.3.3.6

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.3.3.7

Fatore $- 1$ de $3 {(x - y - 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.3.3.8

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 1$ e $y = - 1$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$- \frac{1 - 3 {((1) - y - 1)}^{2}}{3 {((1) - y - 1)}^{2}}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $- 1$ na expressão.

$- \frac{1 - 3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}{3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}$

Etapa 1.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1 - 3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Etapa 1.7.3.2

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1 - 3 {(2 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Etapa 1.7.3.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$- \frac{1 - 3 \cdot 1^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Etapa 1.7.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1 - 3 \cdot 1}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Etapa 1.7.3.5

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- \frac{1 - 3}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Etapa 1.7.3.6

Subtraia $3$ de $1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}$

Etapa 1.7.4.2

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(2 - 1)}^{2}}$

Etapa 1.7.4.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1^{2}}$

Etapa 1.7.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1}$

Etapa 1.7.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \frac{- 2}{3}$

Etapa 1.7.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{2}{3}$

Etapa 1.7.6

Multiplique $- - \frac{2}{3}$ .

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Etapa 1.7.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{2}{3})$

Etapa 1.7.6.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{2}{3}$ e um ponto determinado $(1, - 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 1 = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 3}{3}$

Etapa 2.3.2.5.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Etapa 2.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{5}{3}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$

Etapa 3