Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{2 x}$ at $(8, 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 8$ e $y = 4$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.3

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Como $2^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.10

Combine $2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.11.1

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.12

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.12.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.12.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.12.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.12.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13

Avalie a derivada em $x = 8$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.14

Simplifique.

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Etapa 1.14.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.14.1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.14.1.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.14.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.14.1.2.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.14.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Etapa 1.14.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2^{\frac{1 + 3}{2}}}$

Etapa 1.14.1.5

Some $1$ e $3$ .

$\frac{1}{2^{\frac{4}{2}}}$

Etapa 1.14.1.6

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 1.14.1.6.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 1.14.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.14.1.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

Etapa 1.14.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

Etapa 1.14.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{1}}}$

Etapa 1.14.1.6.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{2}}$

Etapa 1.14.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{4}$ e um ponto determinado $(8, 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{4} \cdot (x - (8))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 4 = \frac{1}{4} \cdot (x - 8)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{4} \cdot (x - 8)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 8)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 4 = \frac{1}{4} \cdot (x - 8)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$y - 4 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 2))$

Etapa 2.3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$y - 4 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

Etapa 2.3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$y - 4 = \frac{x}{4} - 2$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{4} - 2 + 4$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 2$ e $4$ .

$y = \frac{x}{4} + 2$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{4} x + 2$

Etapa 3