Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{7 x + 2}$ , $(2, 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 4$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7 x + 2}$ como ${(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 7 x + 2$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x + 2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 2]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x + 2$ .

$\frac{1}{2} {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 2]$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 2]$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 2]$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(7 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 2]$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(7 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 2]$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(7 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 2]$

Etapa 1.7

Combine frações.

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Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(7 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 2]$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(7 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x + 2]$

Etapa 1.7.3

Mova ${(7 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x + 2]$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 1.9

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 1.11

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (7 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 1.12

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (7 + 0)$

Etapa 1.13

Combine frações.

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Etapa 1.13.1

Some $7$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 7$

Etapa 1.13.2

Combine $\frac{1}{2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $7$ .

$\frac{7}{2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.14

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$\frac{7}{2 {(7 (2) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15

Simplifique.

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Etapa 1.15.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.15.1.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{7}{2 {(14 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.1.2

Some $14$ e $2$ .

$\frac{7}{2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.1.3

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{7}{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.15.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.15.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.15.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{2 \cdot 4^{1}}$

Etapa 1.15.1.6

Avalie o expoente.

$\frac{7}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.15.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{7}{8}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{7}{8}$ e um ponto determinado $(2, 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{7}{8} \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 4 = \frac{7}{8} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{7}{8} \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{7}{8} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 4 = \frac{7}{8} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 = \frac{7}{8} x + \frac{7}{8} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{7}{8}$ e $x$ .

$y - 4 = \frac{7 x}{8} + \frac{7}{8} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $2$ de $8$ .

$y - 4 = \frac{7 x}{8} + \frac{7}{2 (4)} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y - 4 = \frac{7 x}{8} + \frac{7}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - 4 = \frac{7 x}{8} + \frac{7}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - 4 = \frac{7 x}{8} + \frac{7}{4} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{7}{4}$ e $- 1$ .

$y - 4 = \frac{7 x}{8} + \frac{7 \cdot - 1}{4}$

Etapa 2.3.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.7.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$y - 4 = \frac{7 x}{8} + \frac{- 7}{4}$

Etapa 2.3.1.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 4 = \frac{7 x}{8} - \frac{7}{4}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{7 x}{8} - \frac{7}{4} + 4$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{7 x}{8} - \frac{7}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $4$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{7 x}{8} - \frac{7}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{7 x}{8} + \frac{- 7 + 4 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \frac{7 x}{8} + \frac{- 7 + 16}{4}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 7$ e $16$ .

$y = \frac{7 x}{8} + \frac{9}{4}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{7}{8} x + \frac{9}{4}$

Etapa 3