Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ , $(0, \frac{1}{3})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = \frac{1}{3}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x e^{x} + 3 e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.4.2

Subtraia $e^{x}$ de $3 e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.4.3

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.4.4

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.4.4.2

Fatore $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.4.4.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$\frac{e^{0} ((0) + 2)}{{((0) + 3)}^{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Some $0$ e $2$ .

$\frac{e^{0} \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Etapa 1.6.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Etapa 1.6.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Etapa 1.6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Some $0$ e $3$ .

$\frac{2}{3^{2}}$

Etapa 1.6.2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{2}{9}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{2}{9}$ e um ponto determinado $(0, \frac{1}{3})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Some $x$ e $0$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

Etapa 2.3.1.2

Combine $\frac{2}{9}$ e $x$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{1}{3}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

Etapa 3