Cálculo Exemplos

$y = e^{2 x}$ at $x = \frac{1}{2} \ln (2)$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ .

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Etapa 1.1

Substitua $\frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ por $x$ .

$y = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2))}$

Etapa 1.2

Simplifique $e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2))}$ .

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Etapa 1.2.1

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (2)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$y = e^{2 \ln (2^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.2.2

Simplifique $2 \ln (2^{\frac{1}{2}})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y = e^{\ln ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 1.2.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$y = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 1.2.4

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$y = 2^{1}$

Etapa 1.2.5

Avalie o expoente.

$y = 2$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{1}{2} \ln (2)$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Etapa 2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Etapa 2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Etapa 2.3

Avalie a derivada em $x = \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ .

$2 e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2))}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (2)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$2 e^{2 \ln (2^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 2.4.2

Simplifique $2 \ln (2^{\frac{1}{2}})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$2 e^{\ln ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 2.4.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.4.4

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.4.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.4.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.4.4.2.2

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 2^{1}$

Etapa 2.4.5

Avalie o expoente.

$2 \cdot 2$

Etapa 2.4.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $4$ e um ponto determinado $(\frac{1}{2} \cdot \ln (2), 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 4 \cdot (x - (\frac{1}{2} \cdot \ln (2)))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = 4 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $4 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{2}}))$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 2 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 2 = 4 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 2 = 4 x + 4 (- \ln (2^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $4 (- \ln (2^{\frac{1}{2}}))$ .

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Etapa 3.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y - 2 = 4 x - 4 \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.3.1.4.2

Simplifique $- 4 \ln (2^{\frac{1}{2}})$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$y - 2 = 4 x - \ln ({(2^{\frac{1}{2}})}^{4})$

Etapa 3.3.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.5.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

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Etapa 3.3.1.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = 4 x - \ln (2^{\frac{1}{2} \cdot 4})$

Etapa 3.3.1.5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.5.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y - 2 = 4 x - \ln (2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))})$

Etapa 3.3.1.5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y - 2 = 4 x - \ln (2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)})$

Etapa 3.3.1.5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y - 2 = 4 x - \ln (2^{2})$

Etapa 3.3.1.5.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y - 2 = 4 x - \ln (4)$

Etapa 3.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 4 x - \ln (4) + 2$

Etapa 4