Cálculo Exemplos

$x^{2} y^{2} = 3 y + 1$ at $(2, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (3 y + 1)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Etapa 1.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Etapa 1.3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y' + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 y' + 0$

Etapa 1.3.3.2

Some $3 y'$ e $0$ .

$3 y'$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 3 y'$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Subtraia $3 y'$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 y' = 0$

Etapa 1.5.2

Subtraia $2 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y y' - 3 y' = - 2 y^{2} x$

Etapa 1.5.3

Fatore $y'$ de $2 x^{2} y y' - 3 y'$ .

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Etapa 1.5.3.1

Fatore $y'$ de $2 x^{2} y y'$ .

$y' (2 x^{2} y) - 3 y' = - 2 y^{2} x$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $y'$ de $- 3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3 = - 2 y^{2} x$

Etapa 1.5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$

Etapa 1.5.4

Divida cada termo em $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ por $2 x^{2} y - 3$ e simplifique.

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Etapa 1.5.4.1

Divida cada termo em $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ por $2 x^{2} y - 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2 x^{2} y - 3$ .

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Etapa 1.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Etapa 1.5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 2$ e $y = 1$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$- \frac{2 y^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} y - 3}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $1$ na expressão.

$- \frac{2 {(1)}^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} (1) - 3}$

Etapa 1.7.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2 \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.7.4.1.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ .

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Etapa 1.7.4.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

Etapa 1.7.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1 + 2} \cdot 1 - 3}$

Etapa 1.7.4.1.2

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} \cdot 1 - 3}$

Etapa 1.7.4.2

Simplifique $2^{3} \cdot 1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} - 3}$

Etapa 1.7.4.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{8 - 3}$

Etapa 1.7.4.4

Subtraia $3$ de $8$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{5}$

Etapa 1.7.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{4 \cdot 1}{5}$

Etapa 1.7.5.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$- \frac{4}{5}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{4}{5}$ e um ponto determinado $(2, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- \frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

Etapa 2.3.1.5.2

Combine $2$ e $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

Etapa 2.3.1.5.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

Etapa 2.3.1.6

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

Etapa 2.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

Etapa 2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

Etapa 2.3.2.4

Some $8$ e $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

Etapa 3