Cálculo Exemplos

$y = x + \sin (x)$ , $(π, π)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = π$ e $y = π$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Etapa 1.3

Avalie a derivada em $x = π$ .

$1 + \cos (π)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$1 - \cos (0)$

Etapa 1.4.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - 1$

Etapa 1.4.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $0$ e um ponto determinado $(π, π)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = 0 \cdot (x - (π))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - π = 0 \cdot (x - π)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $0$ por $x - π$ .

$y - π = 0$

Etapa 2.3.2

Some $π$ aos dois lados da equação.

$y = π$

Etapa 3