Cálculo Exemplos

$y = \sec (x) - 2 \cos (x)$ , $p = (\frac{π}{3}, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{3}$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sec (x) - 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - 2 (- \sin (x))$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\sec (x) \tan (x) + 2 \sin (x)$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.5.1.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.5.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.5.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.1.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.5.1.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Etapa 1.5.2

Some $2 \sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $3 \sqrt{3}$ e um ponto determinado $p = (\frac{π}{3}, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{3}$ para o numerador.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Etapa 2.3.1.4.2

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{3}$

Etapa 2.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Etapa 2.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π)$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π) + 1$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Remova os parênteses.

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1 π + 1$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.3.2.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3} π + 1$

Etapa 2.3.3.2.2

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - \sqrt{3} π + 1$

Etapa 3