Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x} (x - 8)$ , $(16, 32)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 16$ e $y = 32$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 8)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11

Simplifique.

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Etapa 1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2

Combine os termos.

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Etapa 1.11.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.11.2.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.11.2.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.4

Combine $- 8$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.5

Fatore $2$ de $- 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.11.2.6.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.11.2.6.2

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.6.3

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.8

Para escrever $x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.9

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.11

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.2.12

Some $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.12

Avalie a derivada em $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13

Simplifique.

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Etapa 1.13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.13.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.13.1.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.13.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.1.1.4

Avalie o expoente.

$\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.1.3

Divida $12$ por $2$ .

$6 - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.1.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.13.1.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$6 - \frac{4}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.13.1.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.13.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.13.1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$6 - \frac{4}{4^{1}}$

Etapa 1.13.1.4.4

Avalie o expoente.

$6 - \frac{4}{4}$

Etapa 1.13.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.13.1.5.1

Cancele o fator comum.

$6 - \frac{4}{4}$

Etapa 1.13.1.5.2

Reescreva a expressão.

$6 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.13.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 - 1$

Etapa 1.13.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$5$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $5$ e um ponto determinado $(16, 32)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (32) = 5 \cdot (x - (16))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $5 \cdot (x - 16)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 32 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 16)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 32 = 5 x + 5 \cdot - 16$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $5$ por $- 16$ .

$y - 32 = 5 x - 80$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $32$ aos dois lados da equação.

$y = 5 x - 80 + 32$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 80$ e $32$ .

$y = 5 x - 48$

Etapa 3