Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ at $x = 3$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 3$ .

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Etapa 1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$y = \frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{8} \cdot 3^{3}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$

Etapa 1.2.3

Simplifique $\frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$y = \frac{1}{8} \cdot 27$

Etapa 1.2.3.2

Combine $\frac{1}{8}$ e $27$ .

$y = \frac{27}{8}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = \frac{27}{8}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Como $\frac{1}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{8} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{8} (3 x^{2})$

Etapa 2.3

Combine frações.

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Etapa 2.3.1

Combine $3$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{8} x^{2}$

Etapa 2.3.2

Combine $\frac{3}{8}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{8}$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = 3$ .

$\frac{3 {(3)}^{2}}{8}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Etapa 2.5.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\frac{3^{1} {(3)}^{2}}{8}$

Etapa 2.5.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3^{1 + 2}}{8}$

Etapa 2.5.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3^{3}}{8}$

Etapa 2.5.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{27}{8}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{27}{8}$ e um ponto determinado $(3, \frac{27}{8})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{27}{8}) = \frac{27}{8} \cdot (x - (3))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\frac{27}{8} \cdot (x - 3)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{27}{8} = 0 + 0 + \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} x + \frac{27}{8} \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{27}{8}$ e $x$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{27}{8} \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $\frac{27}{8} \cdot - 3$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Combine $\frac{27}{8}$ e $- 3$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{27 \cdot - 3}{8}$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $27$ por $- 3$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{- 81}{8}$

Etapa 3.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $\frac{27}{8}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8} + \frac{27}{8}$

Etapa 3.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{27 x - 81 + 27}{8}$

Etapa 3.3.2.3

Some $- 81$ e $27$ .

$y = \frac{27 x - 54}{8}$

Etapa 3.3.2.4

Fatore $27$ de $27 x - 54$ .

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Etapa 3.3.2.4.1

Fatore $27$ de $27 x$ .

$y = \frac{27 (x) - 54}{8}$

Etapa 3.3.2.4.2

Fatore $27$ de $- 54$ .

$y = \frac{27 x + 27 \cdot - 2}{8}$

Etapa 3.3.2.4.3

Fatore $27$ de $27 x + 27 \cdot - 2$ .

$y = \frac{27 (x - 2)}{8}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{27 x + 27 \cdot - 2}{8}$

Etapa 3.3.3.2

Multiplique $27$ por $- 2$ .

$y = \frac{27 x - 54}{8}$

Etapa 3.3.3.3

Divida a fração $\frac{27 x - 54}{8}$ em duas frações.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{- 54}{8}$

Etapa 3.3.3.4

Cancele o fator comum de $- 54$ e $8$ .

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Etapa 3.3.3.4.1

Fatore $2$ de $- 54$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 (- 27)}{8}$

Etapa 3.3.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.4.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.3.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.3.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 3.3.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{27 x}{8} - \frac{27}{4}$

Etapa 3.3.3.6

Reordene os termos.

$y = \frac{27}{8} x - \frac{27}{4}$

Etapa 4