Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 3}$ , $x = - 2$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$y = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3}$

Etapa 1.2

Simplifique $\sqrt{{(- 2)}^{2} + 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \sqrt{4 + 3}$

Etapa 1.2.2

Some $4$ e $3$ .

$y = \sqrt{7}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 2$ e $y = \sqrt{7}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 3}$ como ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 2.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 2.7.3

Mova ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.10

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Etapa 2.11

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 2.11.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 2.11.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.11.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.11.5

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.12

Avalie a derivada em $x = - 2$ .

$\frac{- 2}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{- 2}{{(4 + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.13.1.2

Some $4$ e $3$ .

$\frac{- 2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.13.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a inclinação $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ e um ponto determinado $(- 2, \sqrt{7})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{7}) = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (- 2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \sqrt{7} = 0 + 0 - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Etapa 3.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.1.5.2

Combine $- 2$ e $\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.1.5.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.6.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{2 \cdot x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.1.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.2

Some $\sqrt{7}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{7}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Para escrever $\sqrt{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{7} \cdot \frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.2

Combine $\sqrt{7}$ e $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + \sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.4.1

Multiplique $\sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1 + 1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.1.4

Some $1$ e $1$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{2}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{2}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.1.5.2

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{1}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.2

Avalie o expoente.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.3

Some $- 4$ e $7$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.5

Reordene os termos.

$y = - (\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x) + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.6

Remova os parênteses.

$y = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4