Cálculo Exemplos

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(- \frac{π}{4}, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - \frac{π}{4}$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 1.3

Reordene os fatores de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = - \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (- \frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.3

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.5.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.5

Some $1$ e $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.5.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.6.5

Avalie o expoente.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.6.1

Cancele o fator comum.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.6.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.5.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.7.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.7.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 2^{1} \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.7.5

Avalie o expoente.

$2 \cdot 2 \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \tan (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.5.9

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$4 \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 1.5.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Etapa 1.5.11

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.5.12

Multiplique $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 1.5.12.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 \cdot - 1$

Etapa 1.5.12.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 4$ e um ponto determinado $(- \frac{π}{4}, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 4 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - 4 x - 4 \frac{π}{4}$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y - 1 = - 4 x + 4 (- 1) \frac{π}{4}$

Etapa 2.3.1.4.2

Cancele o fator comum.

$y - 1 = - 4 x + 4 \cdot - 1 \frac{π}{4}$

Etapa 2.3.1.4.3

Reescreva a expressão.

$y - 1 = - 4 x - 1 π$

Etapa 2.3.1.5

Reescreva $- 1 π$ como $- π$ .

$y - 1 = - 4 x - π$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - 4 x - π + 1$

Etapa 3