Cálculo Exemplos

$\int (x^{2} + x) \sqrt[3]{x + 7} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x + 7$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = x + 7$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) \sqrt[3]{u} d u$

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3

Expanda $({(u - 7)}^{2} + u - 7) u^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva ${(u - 7)}^{2}$ como $(u - 7) (u - 7)$ .

$\int ((u - 7) (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u (u - 7) - 7 (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7 + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7 + u) u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + (- 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} + u \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + (- 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} + u \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.10

Reordene $u$ e $- 7$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.11

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.12

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 + 1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.14

Some $1$ e $1$ .

$\int u^{2} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{2 + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.16

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\int u^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.17

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.19

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int u^{\frac{6 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.19.2

Some $6$ e $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.20

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 (u^{1} u^{\frac{1}{3}}) - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.21

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.22

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.24

Some $3$ e $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.25

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 (u^{1} u^{\frac{1}{3}}) - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.26

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.27

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.28

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.29

Some $3$ e $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.30

Multiplique $- 7$ por $- 7$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.31

Subtraia $7 u^{\frac{4}{3}}$ de $- 7 u^{\frac{4}{3}}$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.32

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.33

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.34

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.35

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.36

Some $3$ e $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.37

Reordene $- 14 u^{\frac{4}{3}}$ e $49 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.38

Reordene $u^{\frac{7}{3}}$ e $49 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.39

Mova $- 14 u^{\frac{4}{3}}$ .

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.40

Mova $- 14 u^{\frac{4}{3}}$ .

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia $7 u^{\frac{1}{3}}$ de $49 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

Etapa 4.2

Subtraia $14 u^{\frac{4}{3}}$ de $u^{\frac{4}{3}}$ .

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} d u + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Etapa 6

Como $42$ é constante com relação a $u$ , mova $42$ para fora da integral.

$42 \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$42 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{7}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}}$ .

$42 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Etapa 9

Combine $\frac{3}{4}$ e $u^{\frac{4}{3}}$ .

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Etapa 10

Como $- 13$ é constante com relação a $u$ , mova $- 13$ para fora da integral.

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{4}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Combine $\frac{3}{7}$ e $u^{\frac{7}{3}}$ .

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C)$

Etapa 12.2

Simplifique.

$\frac{63 u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{3 u^{\frac{10}{3}}}{10} - 13 \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

$\frac{63 u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{3 u^{\frac{10}{3}}}{10} - 13 \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - 13 (\frac{3}{7}) u^{\frac{7}{3}} + C$

Etapa 14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Combine $- 13$ e $\frac{3}{7}$ .

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + \frac{- 13 \cdot 3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Etapa 14.2

Multiplique $- 13$ por $3$ .

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + \frac{- 39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Etapa 14.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 7$ .

$\frac{63}{2} {(x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} {(x + 7)}^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} {(x + 7)}^{\frac{7}{3}} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$