Cálculo Exemplos

$x^{2} = 4 y^{3} + 5 y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 5 y^{2})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 y^{3} + 5 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y y')$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x = 12 y^{2} y' + 10 y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$

Etapa 5.2

Fatore $2 y y'$ de $12 y^{2} y' + 10 y y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2 y y'$ de $12 y^{2} y'$ .

$2 y y' (6 y) + 10 y y' = 2 x$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 y y'$ de $10 y y'$ .

$2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5 = 2 x$

Etapa 5.2.3

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5$ .

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ por $2 y (6 y + 5)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ por $2 y (6 y + 5)$ .

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $6 y + 5$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x}{y (6 y + 5)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y (6 y + 5)}$