Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta integral usando a substituição u. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Deixe $x = \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3

Simplifique $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Etapa 3.1

Reorganize os termos.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 4

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ .

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Etapa 4.1.1

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Etapa 4.2

Some $1$ e $2$ .

$\int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 5

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 6

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 7

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 8

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.1

Some $1$ e $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 10.2

Reordene $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 11

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 12

Simplifique multiplicando.

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Etapa 12.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 12.3

Reordene $\sec (t)$ e $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 13

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Etapa 14

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 16

Some $1$ e $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 17

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Etapa 19

Some $2$ e $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Etapa 20

Divida a integral única em várias integrais.

$\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 21

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 22

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 23

Simplifique multiplicando.

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Etapa 23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 23.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 24

Ao resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

Etapa 25

Multiplique $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

Etapa 26

Simplifique.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Etapa 27

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$