Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} 2 x (1 + x^{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 1 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $4$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{5} u d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{5}$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{1}{2} u^{2}$ em $5$ e em $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $25$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Etapa 3.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

Etapa 3.2.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{25}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.5

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.2.6

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 3.2.6.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Etapa 3.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Etapa 3.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{25}{2} + \frac{- 2}{1}$

Etapa 3.2.6.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$\frac{25}{2} - 2$

Etapa 3.2.7

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.2.8

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.10.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{25 - 4}{2}$

Etapa 3.2.10.2

Subtraia $4$ de $25$ .

$\frac{21}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{21}{2}$

Forma decimal:

$10.5$

Forma de número misto:

$10 \frac{1}{2}$

Etapa 5