Cálculo Exemplos

$\int \frac{x - 5}{- 2 x + 2} d x$

Etapa 1

Divida $x - 5$ por $- 2 x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$2$

$x$

$5$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- 2 x$ .

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				+	$x$	-	$1$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$
						-	$4$

Etapa 1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int - \frac{1}{2} - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $4$ e $- 2 x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{- 2 x + 2} d x$

Etapa 3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2} d x$

Etapa 3.2.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2 (1)} d x$

Etapa 3.2.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

Etapa 3.2.5

Reescreva a expressão.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{2} x + C + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} x + C - \int \frac{2}{- x + 1} d x$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} x + C - (2 \int \frac{1}{- x + 1} d x)$

Etapa 7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 8

Deixe $u = - x + 1$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Deixe $u = - x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 8.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 11

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| u |) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x + 1$ .

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| - x + 1 |) + C$