Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

Etapa 1

Reordene $1$ e $- x$ .

$\int \frac{x^{2}}{- x + 1} d x$

Etapa 2

Divida $x^{2}$ por $- x + 1$ .

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Etapa 2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$

Etapa 2.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

Etapa 2.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x$ .

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

Etapa 2.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						+	$x$	-	$1$

Etapa 2.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$

Etapa 2.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$
								+	$1$

Etapa 2.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int - x - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 8

Deixe $u = - x + 1$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = - x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 8.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - (\ln (| u |) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| u |) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x + 1$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C$