Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 x (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{x \cdot (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{(7^{u_{1}} - 5) \cdot 2} d u_{1}$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $7^{u_{1}} - 5$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{2 (7^{u_{1}} - 5)} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1})$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ . Depois, $d u_{2} = 7^{u_{1}} \ln (7) d u_{1}$ , então, $\frac{1}{\ln (7)} d u_{2} = 7^{u_{1}} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $7^{u_{1}} - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}} - 5]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7^{u_{1}} - 5$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $7$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Etapa 6.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- 5$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) + 0$

Etapa 6.1.4.2

Some $7^{u_{1}} \ln (7)$ e $0$ .

$7^{u_{1}} \ln (7)$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (7)} d u_{2}$

Etapa 7

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{\ln (7)}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (7)} d u_{2}$

Etapa 8

Como $\frac{1}{\ln (7)}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{\ln (7)}$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{\ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{\ln (7)}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{\ln (7) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 9.2

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (7)$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $7^{u_{1}} - 5$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{u_{1}} - 5 |) + C$

Etapa 12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{x^{2}} - 5 |) + C$