Cálculo Exemplos

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

Etapa 1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1

Reordene os termos.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

Etapa 1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ e cuja soma é $b = - 4$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

Etapa 1.2.2

Reescreva $- 4$ como $2$ mais $- 6$

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

Etapa 1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

Etapa 1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

Etapa 1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 2$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Etapa 2

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Etapa 3

Complete o quadrado.

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Etapa 3.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1.1

Expanda $(- x + 2) (x + 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

Etapa 3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

Etapa 3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Etapa 3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.2.1.1.1

Mova $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Etapa 3.1.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

Etapa 3.1.2.2

Some $- 6 x$ e $2 x$ .

$- x^{2} - 4 x + 12$

Etapa 3.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

Etapa 3.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 3.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.4.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Etapa 3.4.2.2

Reescreva $- 1 \cdot - 2$ como $- - 2$ .

$d = - - 2$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$d = 2$

Etapa 3.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 3.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

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Etapa 3.5.2.1.1.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.2.1.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.2.1.1.4

Multiplique $4^{2}$ por $1$ .

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.2.1.1.5

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.2.1.1.6

Mova o número negativo do denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

Etapa 3.5.2.1.2

Multiplique $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Etapa 3.5.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 12 - - 4$

Etapa 3.5.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$e = 12 + 4$

Etapa 3.5.2.2

Some $12$ e $4$ .

$e = 16$

Etapa 3.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x + 2)}^{2} + 16$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = x + 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

Etapa 5.2

Reordene $- u^{2}$ e $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ com relação a $u$ é $\arcsin (\frac{u}{4})$

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Etapa 7

Reescreva $8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ como $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

Etapa 9.3.3

Reescreva a expressão.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$