Cálculo Exemplos

$\int \frac{4 t^{3} - t^{2} + 16 t}{t^{2} + 4} d t$

Etapa 1

Divida $4 t^{3} - t^{2} + 16 t$ por $t^{2} + 4$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 t^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t^{2}$ .

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 t^{3} + 0 + 16 t$ .

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

$t^{2}$

$0$

Etapa 1.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

						$4 t$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- t^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t^{2}$ .

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							-	$t^{2}$	+	$0$	-	$4$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- t^{2} + 0 - 4$ .

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$
											+	$4$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 4 t - 1 + \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 4 t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Etapa 7

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{t^{2} + 4} d t$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Reordene $t^{2}$ e $4$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{4 + t^{2}} d t$

Etapa 8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{2^{2} + t^{2}} d t$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{2^{2} + t^{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{t}{2})$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C)$

Etapa 10.2

Simplifique.

$2 t^{2} - t + 4 \frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Etapa 10.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Combine $4$ e $\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2}$ .

$2 t^{2} - t + \frac{4 \arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Etapa 10.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 10.3.2.1

Fatore $2$ de $4 \arctan (\frac{t}{2})$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2} + C$

Etapa 10.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 (1)} + C$

Etapa 10.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Etapa 10.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$2 t^{2} - t + \frac{2 \arctan (\frac{t}{2})}{1} + C$

Etapa 10.3.2.2.4

Divida $2 \arctan (\frac{t}{2})$ por $1$ .

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{t}{2}) + C$

Etapa 10.4

Reordene os termos.

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{1}{2} t) + C$