Cálculo Exemplos

$\cos^{5} (x)$

Etapa 1

Escreva $\cos^{5} (x)$ como uma função.

$f (x) = \cos^{5} (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \cos^{5} (x) d x$

Etapa 4

Fatore $\cos^{4} (x)$ .

$\int \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Etapa 5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Etapa 5.2

Reescreva ${\cos (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Etapa 7

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 7.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Etapa 8

Expanda ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva ${(1 - u^{2})}^{2}$ como $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Etapa 8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Etapa 8.5

Mova $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Etapa 8.6

Mova $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 8.7

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 8.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 8.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 8.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 8.11

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 8.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Etapa 8.13

Some $2$ e $2$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 8.14

Subtraia $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$\int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 8.15

Reordene $- 2 u^{2}$ e $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Etapa 8.16

Mova $1$ .

$\int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Etapa 11

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Etapa 13

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Etapa 14.2

Simplifique.

$\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{5} (x)}{5} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

Etapa 17

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \cos^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$