Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{4 - \sqrt{x + 15}}{1 - x^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 - \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 4 - lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{4 - lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $15$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{4 - \sqrt{1 + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Some $1$ e $15$ .

$\frac{4 - \sqrt{16}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{4 - \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - 1^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{4 - \sqrt{x + 15}}{1 - x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - \sqrt{x + 15}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 15}$ como ${(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 15$ .

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Etapa 1.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 15$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 15$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [15]))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.6

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.12

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.14

Multiplique $\frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.15

Mova ${(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $\frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Etapa 1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (2 x)}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - 2 x}$

Etapa 1.3.9

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

Etapa 1.5

Reescreva ${(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 15}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 15}} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $\frac{1}{- 2 x}$ por $\frac{1}{2 \sqrt{x + 15}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 2 x (2 \sqrt{x + 15})}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 4 x \sqrt{x + 15}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{- 4 x \sqrt{x + 15}}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{- 4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{1}{- 4} lim_{x \to 1} \frac{1}{x \sqrt{x + 15}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x + 15}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x + 15}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}$

Etapa 2.6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 15}}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $15$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{1}{4} \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Etapa 4.2

Multiplique $- - \frac{1}{4}$ .

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 15}}$

Etapa 4.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.1

Some $1$ e $15$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{16}}$

Etapa 4.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Etapa 4.4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 4.5.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{1}{16}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{16}$

Forma decimal:

$0.0625$