Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} - e}{x - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $e$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique.

$\frac{e - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $e$ de $e$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} - e}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - e$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4

Como $- e$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.5

Some $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1}$

Etapa 1.4

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} e^{x}$

Etapa 2

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$e^{1}$

Etapa 4

Simplifique.

$e$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$