Cálculo Exemplos

$\int (5^{5 x + 1} - 15 x^{4}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int 5^{5 x + 1} - 15 x^{4} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 5^{5 x + 1} d x + \int - 15 x^{4} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 5 x + 1$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 5 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $5$ e $0$ .

$5$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Etapa 4

Combine $5^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Etapa 6

A integral de $5^{u}$ com relação a $u$ é $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) + \int - 15 x^{4} d x$

Etapa 7

Como $- 15$ é constante com relação a $x$ , mova $- 15$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 \int x^{4} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{x^{5}}{5} + C)$

Etapa 9.2

Simplifique.

$\frac{1 \cdot 5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $5^{u}$ por $1$ .

$\frac{5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum de $5^{u}$ e $5$ .

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Etapa 9.3.2.1

Fatore $5$ de $5^{u}$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Etapa 9.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.2.2.1

Fatore $5$ de $5 \ln (5)$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 (\ln (5))} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Etapa 9.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Etapa 9.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Etapa 9.3.3

Combine $- 15$ e $\frac{x^{5}}{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 15 x^{5}}{5} + C$

Etapa 9.3.4

Cancele o fator comum de $- 15$ e $5$ .

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Etapa 9.3.4.1

Fatore $5$ de $- 15 x^{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5} + C$

Etapa 9.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.4.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 (1)} + C$

Etapa 9.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

Etapa 9.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5}}{1} + C$

Etapa 9.3.4.2.4

Divida $- 3 x^{5}$ por $1$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} + C$

Etapa 9.3.5

Para escrever $- 3 x^{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} \cdot \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + C$

Etapa 9.3.6

Combine $- 3 x^{5}$ e $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Etapa 9.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5^{u - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + 1$ .

$\frac{5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$\frac{1}{\ln (5)} (5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)) + C$