Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{3} \ln (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = x^{3} \ln (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x^{3} \ln (x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x^{3} \ln (x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{3}$ .

$y + C_{1} = \ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Etapa 2.3.4.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

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Etapa 2.3.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Etapa 2.3.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Etapa 2.3.4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 2.3.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 2.3.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Etapa 2.3.4.2.2.5

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Etapa 2.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.6.1

Reescreva $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ como $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.2

Combine $\frac{\ln (x)}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.4

Multiplique $4$ por $4$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + K$