Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ , $y (0) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine $\frac{y}{1 + y^{2}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $1 + y^{2}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.3.1

Fatore $y$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Etapa 1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 2.2.3.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.2.5

Divida $y$ por $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.7

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $1$ por $y$ em $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $\sin (0) + C$ .

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Etapa 4.2.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Etapa 4.2.1.2

Some $0$ e $C$ .

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

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Etapa 4.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

Etapa 4.3.1.1.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

Etapa 4.3.1.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

Etapa 4.3.1.1.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$C = \frac{1}{2} + 0$

Etapa 4.3.1.2

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$C = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Substitua $\frac{1}{2}$ por $C$ em $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $\frac{1}{2}$ por $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$