Cálculo Exemplos

$y (u^{2} + 1) d u + (u^{3} - 3 u) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $y (u^{2} + 1) d u$ dos dois lados da equação.

$(u^{3} - 3 u) d y = - y (u^{2} + 1) d u$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y}$ .

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $u^{3} - 3 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $u^{3} - 3 u$ de $(u^{3} - 3 u) y$ .

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) (y)} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (y (u^{2} + 1)) d u$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(u^{3} - 3 u) y} (y (u^{2} + 1)) d u$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $(u^{3} - 3 u) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (u^{3} - 3 u)} (y (u^{2} + 1)) d u$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (u^{3} - 3 u)} (y (u^{2} + 1)) d u$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u^{3} - 3 u} (u^{2} + 1) d u$

Etapa 3.4

Fatore $u$ de $u^{3} - 3 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $u$ de $u^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u \cdot u^{2} - 3 u} (u^{2} + 1) d u$

Etapa 3.4.2

Fatore $u$ de $- 3 u$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u \cdot u^{2} + u \cdot - 3} (u^{2} + 1) d u$

Etapa 3.4.3

Fatore $u$ de $u \cdot u^{2} + u \cdot - 3$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u^{2} + 1) d u$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} (u^{2} + 1) d u$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{1}{u (u^{2} - 3)} u^{2} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{u (u^{2} - 3)}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} u^{2} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Etapa 3.7.2

Fatore $u$ de $u^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u \cdot u) - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Etapa 3.7.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u \cdot u) - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Etapa 3.7.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u^{2} - 3} u - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Etapa 3.8

Combine $\frac{- 1}{u^{2} - 3}$ e $u$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Etapa 3.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Etapa 3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Etapa 3.11

Para escrever $- \frac{u}{u^{2} - 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{u}{u}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u}{u^{2} - 3} \cdot \frac{u}{u} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Etapa 3.12

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(u^{2} - 3) u$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Multiplique $\frac{u}{u^{2} - 3}$ por $\frac{u}{u}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u \cdot u}{(u^{2} - 3) u} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Etapa 3.12.2

Reordene os fatores de $(u^{2} - 3) u$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u \cdot u}{u (u^{2} - 3)} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Etapa 3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- u \cdot u - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Etapa 3.14

Multiplique $u$ por $u$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.1

Mova $u$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u \cdot u) - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Etapa 3.14.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- u^{2} - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Etapa 3.15

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2}) - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Etapa 3.16

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2}) - 1 (1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

Etapa 3.17

Fatore $- 1$ de $- (u^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2} + 1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

Etapa 3.18

Reescreva $- (u^{2} + 1)$ como $- 1 (u^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1 (u^{2} + 1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

Etapa 3.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Etapa 4.3.2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{u} + \frac{B u + C}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $u (u^{2} - 3)$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u (u^{2} - 3))}{u (u^{2} - 3)} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(u^{2} + 1) (u (u^{2} - 3))}{u (u^{2} - 3)} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 3)}{u^{2} - 3} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $u^{2} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 3)}{u^{2} - 3} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Divida $u^{2} + 1$ por $1$ .

$u^{2} + 1 = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.5.1

Cancele o fator comum de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} + 1 = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.1.5.1.2

Divida $A (u^{2} - 3)$ por $1$ .

$u^{2} + 1 = A (u^{2} - 3) + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$u^{2} + 1 = A u^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.1.5.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.1.5.4

Cancele o fator comum de $u^{2} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.1.5.4.2

Divida $(B u + C) (u)$ por $1$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + (B u + C) (u)$

Etapa 4.3.2.1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B u \cdot u + C u$

Etapa 4.3.2.1.5.6

Multiplique $u$ por $u$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.5.6.1

Mova $u$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B (u \cdot u) + C u$

Etapa 4.3.2.1.5.6.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B u^{2} + C u$

Etapa 4.3.2.1.6

Mova $- 3 A$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} + B u^{2} + C u - 3 A$

Etapa 4.3.2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $u^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 4.3.2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $u$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 4.3.2.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $u$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 3 A$

Etapa 4.3.2.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

Etapa 4.3.2.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$1 = - 3 A$

Etapa 4.3.2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $0$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.1

Reescreva a equação como $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.2.3.2.2

Divida cada termo em $- 3 A = 1$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $- 3 A = 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.2.3.2.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- \frac{1}{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = A + B$ por $- \frac{1}{3}$ .

$1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.2.3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.2.3.4

Resolva $B$ em $1 = - \frac{1}{3} + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.4.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{3} + B = 1$ .

$- \frac{1}{3} + B = 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.2.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.4.2.1

Some $\frac{1}{3}$ aos dois lados da equação.

$B = 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.2.3.4.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$B = \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.2.3.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.2.3.4.2.4

Some $3$ e $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.2.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = \frac{4}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

Etapa 4.3.2.3.6

Liste todas as soluções.

$B = \frac{4}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

Etapa 4.3.2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{u} + \frac{B u + C}{u^{2} - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4}{3 u} + 0}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{(\frac{4}{3}) u + 0}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.2.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $u$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4 u}{3} + 0}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.5.2.2

Some $\frac{4 u}{3}$ e $0$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4 u}{3}}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{4 u}{3} \cdot \frac{1}{u^{2} - 3}$

Etapa 4.3.2.5.4

Multiplique $\frac{4 u}{3}$ por $\frac{1}{u^{2} - 3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

Etapa 4.3.2.5.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

Etapa 4.3.2.5.6

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u \cdot 3} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

Etapa 4.3.2.5.7

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{3 u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u$

Etapa 4.3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int - \frac{1}{3 u} d u + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Etapa 4.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \int \frac{1}{3 u} d u + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Etapa 4.3.5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Etapa 4.3.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Etapa 4.3.7

Como $\frac{4}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{4}{3}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{u}{u^{2} - 3} d u)$

Etapa 4.3.8

Deixe $u_{1} = u^{2} - 3$ . Depois, $d u_{1} = 2 u d u$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1

Deixe $u_{1} = u^{2} - 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1.1

Diferencie $u^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2} - 3]$

Etapa 4.3.8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u^{2} - 3$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 3]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 3]$

Etapa 4.3.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [- 3]$

Etapa 4.3.8.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $- 3$ em relação a $u$ é $0$ .

$2 u + 0$

Etapa 4.3.8.1.5

Some $2 u$ e $0$ .

$2 u$

Etapa 4.3.8.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1})$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.9.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1})$

Etapa 4.3.9.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1})$

Etapa 4.3.10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}))$

Etapa 4.3.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 4.3.11.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 4.3.11.3

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 (2)}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 4.3.11.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 4.3.11.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 4.3.11.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 4.3.12

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{3}))$

Etapa 4.3.13

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |)) + C_{4}$

Etapa 4.3.14

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $u^{2} - 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Etapa 4.3.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.15.1.1

Combine $\ln (| u |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Etapa 4.3.15.1.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $\ln (| u^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}) + C_{4}$

Etapa 4.3.15.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- \ln (| u |) + 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Etapa 4.3.15.3

Fatore $- 1$ de $- \ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |)) + 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Etapa 4.3.15.4

Fatore $- 1$ de $2 \ln (| u^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |)) - (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

Etapa 4.3.15.5

Fatore $- 1$ de $- (\ln (| u |)) - (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

Etapa 4.3.15.6

Reescreva $- (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ como $- 1 (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- 1 (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

Etapa 4.3.15.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Etapa 4.3.15.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Etapa 4.3.15.9

Multiplique $\frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Etapa 4.3.16

Reordene os termos.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

Etapa 5.1.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

Etapa 5.1.1.3

Multiplique $\frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{- 2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |) + C$

Etapa 5.1.1.3.2

Combine $\frac{- 2}{3}$ e $\ln (| u^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$

Etapa 5.1.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$ por $3$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$ por $3$ .

$\ln (| y |) \cdot 3 = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (| y |)$ .

$3 \ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}$ para o numerador.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $C$ .

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$

Etapa 5.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique $3 \ln (| y |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$

Etapa 5.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique $\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - \ln ({| u^{2} - 3 |}^{2}) + 3 C$

Etapa 5.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| u^{2} - 3 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - \ln ({(u^{2} - 3)}^{2}) + 3 C$

Etapa 5.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}) + 3 C$

Etapa 5.5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}) = 3 C$

Etapa 5.6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}) = 3 C$

Etapa 5.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln ({| y |}^{3} (\frac{{(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |})) = 3 C$

Etapa 5.8

Combine ${| y |}^{3}$ e $\frac{{(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}) = 3 C$

Etapa 5.9

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |})} = e^{3 C}$

Etapa 5.10

Reescreva $\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}) = 3 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = \frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}$

Etapa 5.11

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.1

Reescreva a equação como $\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} = e^{3 C}$ .

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} = e^{3 C}$

Etapa 5.11.2

Multiplique os dois lados por $| u |$ .

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} | u | = e^{3 C} | u |$

Etapa 5.11.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.3.1

Cancele o fator comum de $| u |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} | u | = e^{3 C} | u |$

Etapa 5.11.3.1.2

Reescreva a expressão.

${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$

Etapa 5.11.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.4.1

Divida cada termo em ${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$ por ${(u^{2} - 3)}^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.4.1.1

Divida cada termo em ${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$ por ${(u^{2} - 3)}^{2}$ .

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.4.1.2.1

Cancele o fator comum de ${(u^{2} - 3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.4.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.1.2.1.2

Divida ${| y |}^{3}$ por $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Etapa 5.11.4.3

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.4.3.1

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ como $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Etapa 5.11.4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.4.3.2.1

Reescreva $e^{3 C}$ como ${(e^{C})}^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Etapa 5.11.4.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Etapa 5.11.4.3.3

Multiplique $\frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.4.3.4.1

Multiplique $\frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.4.2

Eleve $\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ à potência de $1$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{1 + 2}}$

Etapa 5.11.4.3.4.4

Some $1$ e $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{3}}$

Etapa 5.11.4.3.4.5

Reescreva ${\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{3}$ como ${(u^{2} - 3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.4.3.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ como ${(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{({(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Etapa 5.11.4.3.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Etapa 5.11.4.3.4.5.3

Combine $\frac{2}{3}$ e $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Etapa 5.11.4.3.4.5.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{6}{3}}}$

Etapa 5.11.4.3.4.5.5

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.4.3.4.5.5.1

Fatore $3$ de $6$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Etapa 5.11.4.3.4.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.4.3.4.5.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Etapa 5.11.4.3.4.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Etapa 5.11.4.3.4.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{1}}}$

Etapa 5.11.4.3.4.5.5.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.4.3.5.1

Reescreva ${\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.2

Multiplique os expoentes em ${({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.4.3.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2 \cdot 2}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.3

Use o teorema binomial.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2})}^{4} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.11.4.3.5.4.1

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{4}$ .

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Etapa 5.11.4.3.5.4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{2 \cdot 4} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.4.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{3}$ .

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Etapa 5.11.4.3.5.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 u^{2 \cdot 3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.4.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 u^{6} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.4.3

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.4.4

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.11.4.3.5.4.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{2 \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.4.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{4} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.4.5

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{4} \cdot 9 + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.4.6

Multiplique $9$ por $6$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.4.7

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} + 4 u^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.4.8

Multiplique $- 27$ por $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.4.9

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.5.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{(u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81) | u |}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.3.6

Reordene os fatores em $\frac{e^{C} \sqrt[3]{(u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81) | u |}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.11.4.4

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \frac{C \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$