Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{y}$ , $y (0) = - 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = x \sin (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int x \sin (x) d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Etapa 2.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $\int \cos (x) d x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Etapa 2.3.4

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Reescreva $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ como $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x \cos (x) + \sin (x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Fatore $2$ de $2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Etapa 3.4.3

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Etapa 3.4.4

Fatore $2$ de $2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K}$

Etapa 3.4.5

Fatore $2$ de $2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Etapa 4

Como $y$ é negativo na condição inicial $(0, - 1)$ , considere apenas $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ para encontrar $K$ . Substitua $0$ por $x$ e $- 1$ por $y$ .

$- 1 = - \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$

Etapa 5

Resolva $K$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$ .

$- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$

Etapa 5.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 5.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$ como ${(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique ${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.1.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

${(- {(2 (0 \cdot 1 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Multiplique $0$ por $1$ .

${(- {(2 (0 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

${(- {(2 (0 + 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Combine os termos opostos em $0 + 0 + K$ .

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Etapa 5.3.2.1.2.1.1

Some $0$ e $0$ .

${(- {(2 (0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.1.2

Some $0$ e $K$ .

${(- {(2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Aplique a regra do produto a $2 K$ .

${(- (2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Aplique a regra do produto a $- 2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Aplique a regra do produto a $- 2^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.5

Multiplique ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.6

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.6.2.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.6.2.2

Reescreva a expressão.

$2^{1} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.7

Avalie o expoente.

$2 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.8

Multiplique os expoentes em ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.8.2.1

Cancele o fator comum.

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.8.2.2

Reescreva a expressão.

$2 K^{1} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.9

Simplifique.

$2 K = {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 K = 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 K = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 K = 1$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Substitua $\frac{1}{2}$ por $K$ em $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Substitua $\frac{1}{2}$ por $K$ .

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + \frac{1}{2})}$